Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} - 6 x + 4 = - 8 x - 7 x^{2}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $8 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 6 x + 4 + 8 x = - 7 x^{2}$

Schritt 1.2

Addiere $7 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 6 x + 4 + 8 x + 7 x^{2} = 0$

Schritt 1.3

Addiere $x^{2}$ und $7 x^{2}$ .

$8 x^{2} - 6 x + 4 + 8 x = 0$

Schritt 1.4

Addiere $- 6 x$ und $8 x$ .

$8 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{2} + 2 x + 4$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$2 (4 x^{2}) + 2 x + 4 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$2 (4 x^{2}) + 2 (x) + 4 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (4 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x^{2}) + 2 x$ heraus.

$2 (4 x^{2} + x) + 2 \cdot 2 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ heraus.

$2 (4 x^{2} + x + 2) = 0$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 (4 x^{2} + x + 2) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (4 x^{2} + x + 2) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (4 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $4 x^{2} + x + 2$ durch $1$ .

$4 x^{2} + x + 2 = \frac{0}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$4 x^{2} + x + 2 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 1$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 2)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $32$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 31$ als $- 1 (31)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (31)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{31}}{8}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $32$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 31$ als $- 1 (31)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (31)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{31}}{8}$

Schritt 7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{31}}{8}$

Schritt 7.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{31}}{8}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{31}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{31})}{8}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{31})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{31})}{8}$

Schritt 7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{31}}{8}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $32$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $- 31$ als $- 1 (31)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (31)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{31}}{8}$

Schritt 8.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{31}}{8}$

Schritt 8.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{31}}{8}$

Schritt 8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{31}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{31})}{8}$

Schritt 8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{31})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{31})}{8}$

Schritt 8.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{31}}{8}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{31}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{31}}{8}$