Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} - 10 x + 25 = - 9$

Schritt 1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 10 x + 25 + 9 = 0$

Schritt 1.2

Addiere $25$ und $9$ .

$x^{2} - 10 x + 34 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 10$ und $c = 34$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 34)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $34$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 136}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $136$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 36$ als $- 1 (36)$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (36)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{10 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm 6 i}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 6 i}{2}$ .

$x = 5 \pm 3 i$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $34$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 136}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $136$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 36$ als $- 1 (36)$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (36)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{10 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm 6 i}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 6 i}{2}$ .

$x = 5 \pm 3 i$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 5 + 3 i$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $34$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 136}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $136$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 36$ als $- 1 (36)$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (36)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{10 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm 6 i}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 6 i}{2}$ .

$x = 5 \pm 3 i$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 5 - 3 i$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 5 + 3 i, 5 - 3 i$