Algebravorstufe Beispiele

$9^{5 x - x^{2}} = 9^{4}$

Schritt 1

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$9^{5 x - x^{2}} = 9^{4}$

Schritt 2

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$5 x - x^{2} = 4$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x - x^{2} - 4 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $5 x - x^{2} - 4$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Stelle $5 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 5 x - 4 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 5 x - 4 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $5 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 4 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 4 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 5 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 5 x) - 1 \cdot 4 = 0$

Schritt 3.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 5 x) - 1 (4)$ heraus.

$- (x^{2} - 5 x + 4) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 5 x + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 4, - 1$

Schritt 3.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 4) (x - 1)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 4) (x - 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 3.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 4) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 1$