Algebravorstufe Beispiele

$\frac{9 x^{2}}{100} + \frac{18 x}{5} + 36 - 70 + x = 0$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{9 x^{2}}{100} + \frac{18 x}{5} + 36 - 70 + x$ .

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Schritt 1.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9 x^{2}}{100} + \frac{18 x}{5} + x \cdot \frac{5}{5} + 36 - 70 = 0$

Schritt 1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9 x^{2}}{100} + \frac{18 x}{5} + \frac{x \cdot 5}{5} + 36 - 70 = 0$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 x^{2}}{100} + \frac{18 x + x \cdot 5}{5} + 36 - 70 = 0$

Schritt 1.4

Addiere $18 x$ und $x \cdot 5$ .

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Schritt 1.4.1

Stelle $x$ und $5$ um.

$\frac{9 x^{2}}{100} + \frac{18 x + 5 \cdot x}{5} + 36 - 70 = 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $18 x$ und $5 \cdot x$ .

$\frac{9 x^{2}}{100} + \frac{23 x}{5} + 36 - 70 = 0$

Schritt 1.5

Subtrahiere $70$ von $36$ .

$\frac{9 x^{2}}{100} + \frac{23 x}{5} - 34 = 0$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $100$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$100 (\frac{9 x^{2}}{100}) + 100 (\frac{23 x}{5}) + 100 \cdot - 34 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$100 (\frac{9 x^{2}}{100}) + 100 (\frac{23 x}{5}) + 100 \cdot - 34 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{2} + 100 (\frac{23 x}{5}) + 100 \cdot - 34 = 0$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $100$ heraus.

$9 x^{2} + 5 (20) (\frac{23 x}{5}) + 100 \cdot - 34 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{2} + 5 \cdot (20 (\frac{23 x}{5})) + 100 \cdot - 34 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{2} + 20 (23 x) + 100 \cdot - 34 = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $23$ mit $20$ .

$9 x^{2} + 460 x + 100 \cdot - 34 = 0$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $100$ mit $- 34$ .

$9 x^{2} + 460 x - 3400 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 9$ , $b = 460$ und $c = - 3400$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 460 \pm \sqrt{460^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 3400)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $460$ mit $2$ .

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{211600 - 4 \cdot 9 \cdot - 3400}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 3400$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{211600 - 36 \cdot - 3400}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 3400$ .

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{211600 + 122400}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.3

Addiere $211600$ und $122400$ .

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{334000}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $334000$ als $20^{2} \cdot 835$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $400$ aus $334000$ heraus.

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{400 (835)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{20^{2} \cdot 835}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 460 \pm 20 \sqrt{835}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 460 \pm 20 \sqrt{835}}{18}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 460 \pm 20 \sqrt{835}}{18}$ .

$x = \frac{- 230 \pm 10 \sqrt{835}}{9}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $460$ mit $2$ .

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{211600 - 4 \cdot 9 \cdot - 3400}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 3400$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{211600 - 36 \cdot - 3400}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 3400$ .

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{211600 + 122400}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.3

Addiere $211600$ und $122400$ .

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{334000}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $334000$ als $20^{2} \cdot 835$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $400$ aus $334000$ heraus.

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{400 (835)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{20^{2} \cdot 835}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 460 \pm 20 \sqrt{835}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 460 \pm 20 \sqrt{835}}{18}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 460 \pm 20 \sqrt{835}}{18}$ .

$x = \frac{- 230 \pm 10 \sqrt{835}}{9}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 230 + 10 \sqrt{835}}{9}$

Schritt 6.5

Schreibe $- 230$ als $- 1 (230)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 230 + 10 \sqrt{835}}{9}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $10 \sqrt{835}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 230 - (- 10 \sqrt{835})}{9}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (230) - (- 10 \sqrt{835})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (230 - 10 \sqrt{835})}{9}$

Schritt 6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{230 - 10 \sqrt{835}}{9}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $460$ mit $2$ .

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{211600 - 4 \cdot 9 \cdot - 3400}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 3400$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{211600 - 36 \cdot - 3400}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 3400$ .

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{211600 + 122400}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.3

Addiere $211600$ und $122400$ .

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{334000}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $334000$ als $20^{2} \cdot 835$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $400$ aus $334000$ heraus.

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{400 (835)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{- 460 \pm \sqrt{20^{2} \cdot 835}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 460 \pm 20 \sqrt{835}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 460 \pm 20 \sqrt{835}}{18}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 460 \pm 20 \sqrt{835}}{18}$ .

$x = \frac{- 230 \pm 10 \sqrt{835}}{9}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 230 - 10 \sqrt{835}}{9}$

Schritt 7.5

Schreibe $- 230$ als $- 1 (230)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 230 - 10 \sqrt{835}}{9}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 10 \sqrt{835}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 230 - (10 \sqrt{835})}{9}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (230) - (10 \sqrt{835})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (230 + 10 \sqrt{835})}{9}$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{230 + 10 \sqrt{835}}{9}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{230 - 10 \sqrt{835}}{9}, - \frac{230 + 10 \sqrt{835}}{9}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{230 - 10 \sqrt{835}}{9}, - \frac{230 + 10 \sqrt{835}}{9}$

Dezimalform:

$x = 6.55151839 \dots, - 57.66262950 \dots$