Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{7} w^{2} - \frac{2}{7} w + \frac{1}{3} = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $w^{2}$ .

$\frac{w^{2}}{7} - \frac{2}{7} w + \frac{1}{3} = 0$

Schritt 1.2

Kombiniere $w$ und $\frac{2}{7}$ .

$\frac{w^{2}}{7} - \frac{w \cdot 2}{7} + \frac{1}{3} = 0$

Schritt 1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $w$ .

$\frac{w^{2}}{7} - \frac{2 w}{7} + \frac{1}{3} = 0$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $21$ aus und vereinfache dann.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$21 (\frac{w^{2}}{7}) + 21 (- \frac{2 w}{7}) + 21 (\frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $7$ aus $21$ heraus.

$7 (3) (\frac{w^{2}}{7}) + 21 (- \frac{2 w}{7}) + 21 (\frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \cdot (3 (\frac{w^{2}}{7})) + 21 (- \frac{2 w}{7}) + 21 (\frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 w^{2} + 21 (- \frac{2 w}{7}) + 21 (\frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 w}{7}$ in den Zähler.

$3 w^{2} + 21 (\frac{- 2 w}{7}) + 21 (\frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $7$ aus $21$ heraus.

$3 w^{2} + 7 (3) (\frac{- 2 w}{7}) + 21 (\frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 w^{2} + 7 \cdot (3 (\frac{- 2 w}{7})) + 21 (\frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 w^{2} + 3 (- 2 w) + 21 (\frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$3 w^{2} - 6 w + 21 (\frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$3 w^{2} - 6 w + 3 (7) (\frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 w^{2} - 6 w + 3 \cdot (7 (\frac{1}{3})) = 0$

Schritt 2.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$3 w^{2} - 6 w + 7 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 6$ und $c = 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $w$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$w = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$w = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $7$ .

$w = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 84}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $84$ von $36$ .

$w = \frac{6 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$w = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$w = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$w = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$w = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$w = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$w = \frac{6 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$w = \frac{6 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$w = \frac{6 \pm 4 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 4 i \sqrt{3}}{6}$ .

$w = \frac{3 \pm 2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$w = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$w = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $7$ .

$w = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 84}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $84$ von $36$ .

$w = \frac{6 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$w = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$w = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$w = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$w = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$w = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$w = \frac{6 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$w = \frac{6 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$w = \frac{6 \pm 4 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 4 i \sqrt{3}}{6}$ .

$w = \frac{3 \pm 2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$w = \frac{3 + 2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$w = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$w = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $7$ .

$w = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 84}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $84$ von $36$ .

$w = \frac{6 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$w = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$w = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$w = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$w = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$w = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$w = \frac{6 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$w = \frac{6 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$w = \frac{6 \pm 4 i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 4 i \sqrt{3}}{6}$ .

$w = \frac{3 \pm 2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$w = \frac{3 - 2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$w = \frac{3 + 2 i \sqrt{3}}{3}, \frac{3 - 2 i \sqrt{3}}{3}$