Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{6} x + \frac{2}{3} = \frac{1}{4} \cdot (x (x - 2))$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\frac{1}{4} \cdot (x (x - 2)) = \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot (x (x - 2))$ .

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Schritt 2.1

Forme um.

$0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x (x - 2)) = \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{1}{4} \cdot (x (x - 2)) = \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2) = \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot (x^{2} + x \cdot - 2) = \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}$

Schritt 2.4.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot (x^{2} - 2 \cdot x) = \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}$

Schritt 2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 x) = \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}$

Schritt 2.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 x) = \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 x) = \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- x)) = \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}$

Schritt 2.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- x)) = \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}$

Schritt 2.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- x) = \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} = \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}$

Schritt 3

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} = \frac{x}{6} + \frac{2}{3}$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $\frac{x}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{x}{6} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2

Um $- \frac{x}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{6} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{x}{6} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x \cdot 3}{6} - \frac{x}{6} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{- x \cdot 3 - x}{6} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \cdot 3 - x$ heraus.

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Schritt 4.5.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \cdot 3$ heraus.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x (- 1 \cdot 3) - x}{6} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.5.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x (- 1 \cdot 3) + x \cdot - 1}{6} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.5.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 1 \cdot 3) + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x (- 1 \cdot 3 - 1)}{6} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x (- 3 - 1)}{6} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x \cdot - 4}{6} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $x \cdot - 4$ heraus.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (x \cdot - 2)}{6} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (x \cdot - 2)}{2 (3)} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (x \cdot - 2)}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x \cdot - 2}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.5.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{2 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 5

Subtrahiere $\frac{2}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} = 0$

Schritt 6

Multipliziere mit dem Hauptnenner $12$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (\frac{x^{2}}{4}) + 12 (- \frac{2 x}{3}) + 12 (- \frac{2}{3}) = 0$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$4 (3) (\frac{x^{2}}{4}) + 12 (- \frac{2 x}{3}) + 12 (- \frac{2}{3}) = 0$

Schritt 6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot (3 (\frac{x^{2}}{4})) + 12 (- \frac{2 x}{3}) + 12 (- \frac{2}{3}) = 0$

Schritt 6.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + 12 (- \frac{2 x}{3}) + 12 (- \frac{2}{3}) = 0$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x}{3}$ in den Zähler.

$3 x^{2} + 12 (\frac{- 2 x}{3}) + 12 (- \frac{2}{3}) = 0$

Schritt 6.2.2.2

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (4) (\frac{- 2 x}{3}) + 12 (- \frac{2}{3}) = 0$

Schritt 6.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} + 3 \cdot (4 (\frac{- 2 x}{3})) + 12 (- \frac{2}{3}) = 0$

Schritt 6.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + 4 (- 2 x) + 12 (- \frac{2}{3}) = 0$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$3 x^{2} - 8 x + 12 (- \frac{2}{3}) = 0$

Schritt 6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$3 x^{2} - 8 x + 12 (\frac{- 2}{3}) = 0$

Schritt 6.2.4.2

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$3 x^{2} - 8 x + 3 (4) (\frac{- 2}{3}) = 0$

Schritt 6.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} - 8 x + 3 \cdot (4 (\frac{- 2}{3})) = 0$

Schritt 6.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} - 8 x + 4 \cdot - 2 = 0$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$3 x^{2} - 8 x - 8 = 0$

Schritt 7

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 8$ und $c = - 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 8$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 8$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 96}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.1.3

Addiere $64$ und $96$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $160$ als $4^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $160$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm 4 \sqrt{10}}{6}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 4 \sqrt{10}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{3}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 8$ .

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Schritt 10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 10.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 8$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 96}}{2 \cdot 3}$

Schritt 10.1.3

Addiere $64$ und $96$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 3}$

Schritt 10.1.4

Schreibe $160$ als $4^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 10.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $160$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 10.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 10.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm 4 \sqrt{10}}{6}$

Schritt 10.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 4 \sqrt{10}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{3}$

Schritt 10.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{4 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 8$ .

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Schritt 11.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 8$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 96}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.1.3

Addiere $64$ und $96$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.1.4

Schreibe $160$ als $4^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 11.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $160$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm 4 \sqrt{10}}{6}$

Schritt 11.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 4 \sqrt{10}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{3}$

Schritt 11.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{4 - 2 \sqrt{10}}{3}$

Schritt 12

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{4 + 2 \sqrt{10}}{3}, \frac{4 - 2 \sqrt{10}}{3}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{4 + 2 \sqrt{10}}{3}, \frac{4 - 2 \sqrt{10}}{3}$

Dezimalform:

$x = 3.44151844 \dots, - 0.77485177 \dots$