Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{41}{4} = 3 x$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{41}{4} = 3 x$

Schritt 2

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{41}{4} - 3 x = 0$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $4$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{41}{4}) + 4 (- 3 x) = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{41}{4}) + 4 (- 3 x) = 0$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 4 (\frac{41}{4}) + 4 (- 3 x) = 0$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 4 (\frac{41}{4}) + 4 (- 3 x) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 41 + 4 (- 3 x) = 0$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$x^{2} + 41 - 12 x = 0$

Schritt 3.3

Bewege $41$ .

$x^{2} - 12 x + 41 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 12$ und $c = 41$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $41$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $164$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $41$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $164$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 6 + i \sqrt{5}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $41$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $164$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 8.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 6 - i \sqrt{5}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 6 + i \sqrt{5}, 6 - i \sqrt{5}$