Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{6} x - 3 = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{6} x - 3 = 0$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{6} - 3 = 0$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $12$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (\frac{x^{2}}{4}) + 12 (\frac{x}{6}) + 12 \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$4 (3) (\frac{x^{2}}{4}) + 12 (\frac{x}{6}) + 12 \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot (3 (\frac{x^{2}}{4})) + 12 (\frac{x}{6}) + 12 \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + 12 (\frac{x}{6}) + 12 \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$3 x^{2} + 6 (2) (\frac{x}{6}) + 12 \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} + 6 \cdot (2 (\frac{x}{6})) + 12 \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + 2 x + 12 \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 3$ .

$3 x^{2} + 2 x - 36 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 2$ und $c = - 36$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 36)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 36$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 36$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 432}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.3

Addiere $4$ und $432$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{436}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $436$ als $2^{2} \cdot 109$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $436$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (109)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 109}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{109}}{6}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{109}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{109}}{3}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 36$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 36$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 432}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.3

Addiere $4$ und $432$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{436}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $436$ als $2^{2} \cdot 109$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $436$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (109)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 109}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{109}}{6}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{109}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{109}}{3}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{109}}{3}$

Schritt 6.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{109}}{3}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{109}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{109})}{3}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{109})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{109})}{3}$

Schritt 6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - \sqrt{109}}{3}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 36$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 36$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 432}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.3

Addiere $4$ und $432$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{436}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $436$ als $2^{2} \cdot 109$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $436$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (109)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 109}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{109}}{6}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{109}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{109}}{3}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{109}}{3}$

Schritt 7.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{109}}{3}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{109}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{109})}{3}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (\sqrt{109})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{109})}{3}$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + \sqrt{109}}{3}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{109}}{3}, - \frac{1 + \sqrt{109}}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1 - \sqrt{109}}{3}, - \frac{1 + \sqrt{109}}{3}$

Dezimalform:

$x = 3.14676883 \dots, - 3.81343550 \dots$