Algebravorstufe Beispiele

$\frac{3 x}{5} - \frac{2 x^{2}}{5} = - 1$

Schritt 1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 x}{5} - \frac{2 x^{2}}{5} = - 1$ mit $5$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 x}{5} - \frac{2 x^{2}}{5} = - 1$ mit $5$ .

$\frac{3 x}{5} \cdot 5 - \frac{2 x^{2}}{5} \cdot 5 = - 1 \cdot 5$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{5} \cdot 5 - \frac{2 x^{2}}{5} \cdot 5 = - 1 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x - \frac{2 x^{2}}{5} \cdot 5 = - 1 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x^{2}}{5}$ in den Zähler.

$3 x + \frac{- 2 x^{2}}{5} \cdot 5 = - 1 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x + \frac{- 2 x^{2}}{5} \cdot 5 = - 1 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x - 2 x^{2} = - 1 \cdot 5$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$3 x - 2 x^{2} = - 5$

Schritt 2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x - 2 x^{2} + 5 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x - 2 x^{2} + 5$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Stelle $3 x$ und $- 2 x^{2}$ um.

$- 2 x^{2} + 3 x + 5 = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- (2 x^{2}) + 3 x + 5 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x$ heraus.

$- (2 x^{2}) - (- 3 x) + 5 = 0$

Schritt 3.1.4

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$- (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - (- 3 x)$ heraus.

$- (2 x^{2} - 3 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2} - 3 x) - 1 (- 5)$ heraus.

$- (2 x^{2} - 3 x - 5) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$- (2 x^{2} - 3 x - 5) = 0$

Schritt 3.2.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $2$ plus $- 5$

$- (2 x^{2} + (2 - 5) x - 5) = 0$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5) = 0$

Schritt 3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((2 x^{2} + 2 x) - 5 x - 5) = 0$

Schritt 3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (2 x (x + 1) - 5 (x + 1)) = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 5)) = 0$

Schritt 3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x + 1) (2 x - 5) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Schritt 5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x + 1) (2 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{5}{2}$