Algebravorstufe Beispiele

$\frac{3}{4} x^{2} - x + \frac{19}{12} = 0$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - x + \frac{19}{12} = 0$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $12$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (\frac{3 x^{2}}{4}) + 12 (- x) + 12 (\frac{19}{12}) = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$4 (3) (\frac{3 x^{2}}{4}) + 12 (- x) + 12 (\frac{19}{12}) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot (3 (\frac{3 x^{2}}{4})) + 12 (- x) + 12 (\frac{19}{12}) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (3 x^{2}) + 12 (- x) + 12 (\frac{19}{12}) = 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + 12 (- x) + 12 (\frac{19}{12}) = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$9 x^{2} - 12 x + 12 (\frac{19}{12}) = 0$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{2} - 12 x + 12 (\frac{19}{12}) = 0$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{2} - 12 x + 19 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 9$ , $b = - 12$ und $c = 19$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 19)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 19}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 19$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 19}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $19$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 684}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $684$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 540}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 540$ als $- 1 (540)$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 540}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (540)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{540}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{540}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{540}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $540$ als $6^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $36$ aus $540$ heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{36 (15)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (6 \sqrt{15})}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{12 \pm 6 i \sqrt{15}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{12 \pm 6 i \sqrt{15}}{18}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 6 i \sqrt{15}}{18}$ .

$x = \frac{2 \pm i \sqrt{15}}{3}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 19}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 19$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 19}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $19$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 684}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $684$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 540}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 540$ als $- 1 (540)$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 540}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (540)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{540}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{540}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{540}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $540$ als $6^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $36$ aus $540$ heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{36 (15)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (6 \sqrt{15})}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{12 \pm 6 i \sqrt{15}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{12 \pm 6 i \sqrt{15}}{18}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 6 i \sqrt{15}}{18}$ .

$x = \frac{2 \pm i \sqrt{15}}{3}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{2 + i \sqrt{15}}{3}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 19}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 19$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 19}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $19$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 684}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $684$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 540}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 540$ als $- 1 (540)$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 540}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (540)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{540}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{540}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{540}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $540$ als $6^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $36$ aus $540$ heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{36 (15)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (6 \sqrt{15})}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{12 \pm 6 i \sqrt{15}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{12 \pm 6 i \sqrt{15}}{18}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 6 i \sqrt{15}}{18}$ .

$x = \frac{2 \pm i \sqrt{15}}{3}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{2 - i \sqrt{15}}{3}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{2 + i \sqrt{15}}{3}, \frac{2 - i \sqrt{15}}{3}$