Algebravorstufe Beispiele

$\frac{3}{4} x^{2} + \frac{1}{2} = 2 x$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{1}{2} = 2 x$

Schritt 2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{1}{2} - 2 x = 0$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $4$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\frac{3 x^{2}}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) + 4 (- 2 x) = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{3 x^{2}}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) + 4 (- 2 x) = 0$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + 4 (\frac{1}{2}) + 4 (- 2 x) = 0$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$3 x^{2} + 2 (2) (\frac{1}{2}) + 4 (- 2 x) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} + 2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) + 4 (- 2 x) = 0$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + 2 + 4 (- 2 x) = 0$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$3 x^{2} + 2 - 8 x = 0$

Schritt 3.3

Bewege $2$ .

$3 x^{2} - 8 x + 2 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 8$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $24$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{6}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{3}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $24$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{6}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{3}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $24$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{6}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{3}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{4 + \sqrt{10}}{3}, \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{4 + \sqrt{10}}{3}, \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$

Dezimalform:

$x = 2.38742588 \dots, 0.27924077 \dots$