Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{2} \cdot (x (5 x - 45)) = 45$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot (x (5 x - 45))) = 2 \cdot 45$

Schritt 2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \cdot (x (5 x - 45)))$ .

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{1}{2} \cdot (x (5 x) + x \cdot - 45)) = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.1.2

Stelle um.

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Schritt 2.1.1.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 x \cdot x + x \cdot - 45)) = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.1.2.2

Bringe $- 45$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 x \cdot x - 45 \cdot x)) = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 (x \cdot x) - 45 \cdot x)) = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 x^{2} - 45 \cdot x)) = 2 \cdot 45$

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 x^{2} - 45 x)) = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{1}{2} (5 x^{2}) + \frac{1}{2} (- 45 x)) = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.4

Multipliziere $\frac{1}{2} (5 x^{2})$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (- 45 x)) = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.4.2

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 45 x)) = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.5

Multipliziere $\frac{1}{2} (- 45 x)$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Kombiniere $- 45$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{- 45}{2} x) = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.5.2

Kombiniere $\frac{- 45}{2}$ und $x$ .

$2 (\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{- 45 x}{2}) = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{45 x}{2}) = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{5 x^{2}}{2} + 2 (- \frac{45 x}{2}) = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{5 x^{2}}{2} + 2 (- \frac{45 x}{2}) = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.8.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{2} + 2 (- \frac{45 x}{2}) = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.9.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{45 x}{2}$ in den Zähler.

$5 x^{2} + 2 \frac{- 45 x}{2} = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{2} + 2 \frac{- 45 x}{2} = 2 \cdot 45$

Schritt 2.1.1.9.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{2} - 45 x = 2 \cdot 45$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $45$ .

$5 x^{2} - 45 x = 90$

Schritt 3

Subtrahiere $90$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} - 45 x - 90 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} - 45 x - 90$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$5 (x^{2}) - 45 x - 90 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 45 x$ heraus.

$5 (x^{2}) + 5 (- 9 x) - 90 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $5$ aus $- 90$ heraus.

$5 x^{2} + 5 (- 9 x) + 5 \cdot - 18 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} + 5 (- 9 x)$ heraus.

$5 (x^{2} - 9 x) + 5 \cdot - 18 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{2} - 9 x) + 5 \cdot - 18$ heraus.

$5 (x^{2} - 9 x - 18) = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $5 (x^{2} - 9 x - 18) = 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (x^{2} - 9 x - 18) = 0$ durch $5$ .

$\frac{5 (x^{2} - 9 x - 18)}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (x^{2} - 9 x - 18)}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 9 x - 18$ durch $1$ .

$x^{2} - 9 x - 18 = \frac{0}{5}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$x^{2} - 9 x - 18 = 0$

Schritt 6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 9$ und $c = - 18$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 18)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 18$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 18$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Addiere $81$ und $72$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{153}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $153$ als $3^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $153$ heraus.

$x = \frac{9 \pm \sqrt{9 (17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{9 \pm 3 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{9 \pm 3 \sqrt{17}}{2}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 18$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 18$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.3

Addiere $81$ und $72$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{153}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $153$ als $3^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $153$ heraus.

$x = \frac{9 \pm \sqrt{9 (17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{9 \pm 3 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{9 \pm 3 \sqrt{17}}{2}$

Schritt 9.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{9 + 3 \sqrt{17}}{2}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 18$ .

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Schritt 10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 18$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.3

Addiere $81$ und $72$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{153}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.4

Schreibe $153$ als $3^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 10.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $153$ heraus.

$x = \frac{9 \pm \sqrt{9 (17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{9 \pm 3 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{9 \pm 3 \sqrt{17}}{2}$

Schritt 10.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{9 - 3 \sqrt{17}}{2}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{9 + 3 \sqrt{17}}{2}, \frac{9 - 3 \sqrt{17}}{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{9 + 3 \sqrt{17}}{2}, \frac{9 - 3 \sqrt{17}}{2}$

Dezimalform:

$x = 10.68465843 \dots, - 1.68465843 \dots$