Algebravorstufe Beispiele

$n^{2} + {(n + 2)}^{2} = 156$

Schritt 1

Subtrahiere $156$ von beiden Seiten der Gleichung.

$n^{2} + {(n + 2)}^{2} - 156 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $n^{2} + {(n + 2)}^{2} - 156$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(n + 2)}^{2}$ als $(n + 2) (n + 2)$ um.

$n^{2} + (n + 2) (n + 2) - 156 = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(n + 2) (n + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$n^{2} + n (n + 2) + 2 (n + 2) - 156 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$n^{2} + n \cdot n + n \cdot 2 + 2 (n + 2) - 156 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$n^{2} + n \cdot n + n \cdot 2 + 2 n + 2 \cdot 2 - 156 = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$n^{2} + n^{2} + n \cdot 2 + 2 n + 2 \cdot 2 - 156 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $n$ .

$n^{2} + n^{2} + 2 \cdot n + 2 n + 2 \cdot 2 - 156 = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$n^{2} + n^{2} + 2 n + 2 n + 4 - 156 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $2 n$ und $2 n$ .

$n^{2} + n^{2} + 4 n + 4 - 156 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $n^{2}$ und $n^{2}$ .

$2 n^{2} + 4 n + 4 - 156 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $156$ von $4$ .

$2 n^{2} + 4 n - 152 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $2$ aus $2 n^{2} + 4 n - 152$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 n^{2}$ heraus.

$2 (n^{2}) + 4 n - 152 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $4 n$ heraus.

$2 (n^{2}) + 2 (2 n) - 152 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 152$ heraus.

$2 n^{2} + 2 (2 n) + 2 \cdot - 76 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 n^{2} + 2 (2 n)$ heraus.

$2 (n^{2} + 2 n) + 2 \cdot - 76 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (n^{2} + 2 n) + 2 \cdot - 76$ heraus.

$2 (n^{2} + 2 n - 76) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 (n^{2} + 2 n - 76) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (n^{2} + 2 n - 76) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (n^{2} + 2 n - 76)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (n^{2} + 2 n - 76)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $n^{2} + 2 n - 76$ durch $1$ .

$n^{2} + 2 n - 76 = \frac{0}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$n^{2} + 2 n - 76 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 76$ in die Quadratformel ein und löse nach $n$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 76)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 76$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 76$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 304}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Addiere $4$ und $304$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{308}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $308$ als $2^{2} \cdot 77$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $308$ heraus.

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (77)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 77}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$n = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{77}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$n = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{77}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{77}}{2}$ .

$n = - 1 \pm \sqrt{77}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 76$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 76$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 304}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Addiere $4$ und $304$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{308}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $308$ als $2^{2} \cdot 77$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $308$ heraus.

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (77)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 77}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$n = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{77}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$n = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{77}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{77}}{2}$ .

$n = - 1 \pm \sqrt{77}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$n = - 1 + \sqrt{77}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 76$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 76$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 304}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.3

Addiere $4$ und $304$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{308}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $308$ als $2^{2} \cdot 77$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $308$ heraus.

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (77)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 77}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$n = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{77}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$n = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{77}}{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{77}}{2}$ .

$n = - 1 \pm \sqrt{77}$

Schritt 9.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$n = - 1 - \sqrt{77}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$n = - 1 + \sqrt{77}, - 1 - \sqrt{77}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$n = - 1 + \sqrt{77}, - 1 - \sqrt{77}$

Dezimalform:

$n = 7.77496438 \dots, - 9.77496438 \dots$