Algebravorstufe Beispiele

$2^{X + 3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $2^{X + 3}$ als $2^{X} \cdot 2^{3}$ um.

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

Schritt 1.2

Schreibe $4^{X + 1}$ als $4^{X} \cdot 4^{1}$ um.

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $2^{X}$ als ${(2^{2})}^{X}$ um.

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{2})}^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

Schritt 1.4

Schreibe ${(2^{2})}^{X}$ als ${(2^{X})}^{2}$ um.

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{X})}^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Schritt 1.5

Es sei $u = 2^{X}$ . Ersetze $u$ für alle $2^{X}$ .

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Schritt 1.5.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$u \cdot 8 + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Schritt 1.5.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $u$ .

$8 u + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Schritt 1.5.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$8 u + 4 u^{2} - 320 = 0$

Schritt 1.6

Faktorisiere $4$ aus $8 u + 4 u^{2} - 320$ heraus.

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $8 u$ heraus.

$4 (2 u) + 4 u^{2} - 320 = 0$

Schritt 1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $4 u^{2}$ heraus.

$4 (2 u) + 4 (u^{2}) - 320 = 0$

Schritt 1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $- 320$ heraus.

$4 (2 u) + 4 u^{2} + 4 \cdot - 80 = 0$

Schritt 1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 u) + 4 u^{2}$ heraus.

$4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80 = 0$

Schritt 1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80$ heraus.

$4 (2 u + u^{2} - 80) = 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $2 u + u^{2} - 80$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.7.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 80$ und deren Summe $2$ ist.

$- 8, 10$

Schritt 1.7.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 ((u - 8) (u + 10)) = 0$

Schritt 1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (u - 8) (u + 10) = 0$

Schritt 1.8

Ersetze alle $u$ durch $2^{X}$ .

$4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2^{X} - 8 = 0$

$2^{X} + 10 = 0$

Schritt 3

Setze $2^{X} - 8$ gleich $0$ und löse nach $X$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2^{X} - 8$ gleich $0$ .

$2^{X} - 8 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2^{X} - 8 = 0$ nach $X$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2^{X} = 8$

Schritt 3.2.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{X} = 2^{3}$

Schritt 3.2.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$X = 3$

Schritt 4

Setze $2^{X} + 10$ gleich $0$ und löse nach $X$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2^{X} + 10$ gleich $0$ .

$2^{X} + 10 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2^{X} + 10 = 0$ nach $X$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2^{X} = - 10$

Schritt 4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{X}) = \ln (- 10)$

Schritt 4.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 10)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.2.4

Es gibt keine Lösung für $2^{X} = - 10$

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$ wahr machen.

$X = 3$