Algebravorstufe Beispiele

$10^{2} = z (21 + z)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $z (21 + z) = 10^{2}$ um.

$z (21 + z) = 10^{2}$

Schritt 2

Vereinfache $z (21 + z)$ .

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$z \cdot 21 + z \cdot z = 10^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Bringe $21$ auf die linke Seite von $z$ .

$21 \cdot z + z \cdot z = 10^{2}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$21 z + z^{2} = 10^{2}$

Schritt 3

Potenziere $10$ mit $2$ .

$21 z + z^{2} = 100$

Schritt 4

Subtrahiere $100$ von beiden Seiten der Gleichung.

$21 z + z^{2} - 100 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Es sei $u = z$ . Ersetze $u$ für alle $z$ .

$21 u + u^{2} - 100 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $21 u + u^{2} - 100$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 100$ und deren Summe $21$ ist.

$- 4, 25$

Schritt 5.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 4) (u + 25) = 0$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $z$ .

$(z - 4) (z + 25) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$z - 4 = 0$

$z + 25 = 0$

Schritt 7

Setze $z - 4$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $z - 4$ gleich $0$ .

$z - 4 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 4$

Schritt 8

Setze $z + 25$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $z + 25$ gleich $0$ .

$z + 25 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 25$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(z - 4) (z + 25) = 0$ wahr machen.

$z = 4, - 25$