Algebravorstufe Beispiele

$- \frac{1}{x} + 2 = 2 x - 4$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{x} = 2 x - 4 - 2$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$- \frac{1}{x} = 2 x - 6$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1, 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x} = 2 x - 6$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x} = 2 x - 6$ mit $x$ .

$- \frac{1}{x} x = 2 x \cdot x - 6 x$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x} x = 2 x \cdot x - 6 x$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x} x = 2 x \cdot x - 6 x$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = 2 x \cdot x - 6 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1

Bewege $x$ .

$- 1 = 2 (x \cdot x) - 6 x$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 1 = 2 x^{2} - 6 x$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} - 6 x = - 1$ um.

$2 x^{2} - 6 x = - 1$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 6 x + 1 = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 6$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.1.3

Subtrahiere $8$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 4.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.7.1.3

Subtrahiere $8$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.7.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}, \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}, \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$

Dezimalform:

$x = 2.82287565 \dots, 0.17712434 \dots$