Algebravorstufe Beispiele

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 125}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 5^{3}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})}$

Schritt 1.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x - 5, x^{2} + 5 x + 25, (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.5

Der Teiler von $x - 5$ ist $x - 5$ selbst.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.6

Der Teiler von $x^{2} + 5 x + 25$ ist $x^{2} + 5 x + 25$ selbst.

$(x^{2} + 5 x + 25) = x^{2} + 5 x + 25$

$(x^{2} + 5 x + 25)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Der Teiler von $x - 5$ ist $x - 5$ selbst.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.8

Der Teiler von $x^{2} + 5 x + 25$ ist $x^{2} + 5 x + 25$ selbst.

$(x^{2} + 5 x + 25) = x^{2} + 5 x + 25$

$(x^{2} + 5 x + 25)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Das kgV von $x - 5, x^{2} + 5 x + 25, x - 5, x^{2} + 5 x + 25$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$ mit $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$ mit $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$\frac{6 x}{x - 5} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{x - 5} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 x (x^{2} + 5 x + 25) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x \cdot x^{2} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.3.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x) + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.1.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 (x^{2} x^{1}) + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{2 + 1} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$6 x^{3} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x \cdot x + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.3.3

Mutltipliziere $25$ mit $6$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x \cdot x + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.4.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.4.1.1

Bewege $x$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x) + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 5 x + 25$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25}$ in den Zähler.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 25$ aus $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ heraus.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x^{2} + 5 x + 25) (x - 5)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x^{2} + 5 x + 25) (x - 5)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 (x - 5) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 x - 300 \cdot - 5 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.1.7

Mutltipliziere $- 300$ mit $- 5$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $300 x$ von $150 x$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = 2250$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $2250$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 - 2250 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2250$ von $1500$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x - 750 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x - 750$ heraus.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$6 (x^{3}) + 30 x^{2} - 150 x - 750 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Faktorisiere $6$ aus $30 x^{2}$ heraus.

$6 (x^{3}) + 6 (5 x^{2}) - 150 x - 750 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $6$ aus $- 150 x$ heraus.

$6 (x^{3}) + 6 (5 x^{2}) + 6 (- 25 x) - 750 = 0$

Schritt 4.3.1.4

Faktorisiere $6$ aus $- 750$ heraus.

$6 x^{3} + 6 (5 x^{2}) + 6 (- 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Schritt 4.3.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{3} + 6 (5 x^{2})$ heraus.

$6 (x^{3} + 5 x^{2}) + 6 (- 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Schritt 4.3.1.6

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{3} + 5 x^{2}) + 6 (- 25 x)$ heraus.

$6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Schritt 4.3.1.7

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x) + 6 \cdot - 125$ heraus.

$6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x - 125) = 0$

Schritt 4.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$6 ((x^{3} + 5 x^{2}) - 25 x - 125) = 0$

Schritt 4.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$6 (x^{2} (x + 5) - 25 (x + 5)) = 0$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 5$ .

$6 ((x + 5) (x^{2} - 25)) = 0$

Schritt 4.3.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$6 ((x + 5) (x^{2} - 5^{2})) = 0$

Schritt 4.3.5

Faktorisiere.

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Schritt 4.3.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$6 ((x + 5) ((x + 5) (x - 5))) = 0$

Schritt 4.3.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 4.3.6

Faktorisiere.

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Schritt 4.3.6.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.6.1.1

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 4.3.6.1.2

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 4.3.6.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 ({(x + 5)}^{1 + 1} (x - 5)) = 0$

Schritt 4.3.6.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$6 ({(x + 5)}^{2} (x - 5)) = 0$

Schritt 4.3.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 {(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 4.5

Setze ${(x + 5)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze ${(x + 5)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Schritt 4.5.2

Löse ${(x + 5)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 4.5.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 4.6

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 {(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 5, 5$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 125}$ nicht erfüllen.

$x = - 5$