Algebravorstufe Beispiele

$\frac{4 X + 20}{5 X} = \frac{4 X + 1}{5}$

Schritt 1

Faktorisiere $4$ aus $4 X + 20$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 X$ heraus.

$\frac{4 (X) + 20}{5 X} = \frac{4 X + 1}{5}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{4 X + 4 \cdot 5}{5 X} = \frac{4 X + 1}{5}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 X + 4 \cdot 5$ heraus.

$\frac{4 (X + 5)}{5 X} = \frac{4 X + 1}{5}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$5 X, 5$

Schritt 2.2

Since $5 X, 5$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $5, 5$ then find LCM for the variable part $X^{1}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Da $5$ keine Teiler außer $1$ und $5$ hat.

$5$ ist eine Primzahl

Schritt 2.5

Das kgV von $5, 5$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$5$

Schritt 2.6

Der Teiler von $X^{1}$ ist $X$ selbst.

$X^{1} = X$

$X$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Das kgV von $X^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$X$

Schritt 2.8

Das kgV von $5 X, 5$ ist der numerische Teil $5$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$5 X$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{4 (X + 5)}{5 X} = \frac{4 X + 1}{5}$ mit $5 X$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4 (X + 5)}{5 X} = \frac{4 X + 1}{5}$ mit $5 X$ .

$\frac{4 (X + 5)}{5 X} (5 X) = \frac{4 X + 1}{5} (5 X)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 \frac{4 (X + 5)}{5 X} X = \frac{4 X + 1}{5} (5 X)$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 X$ heraus.

$5 \frac{4 (X + 5)}{5 (X)} X = \frac{4 X + 1}{5} (5 X)$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{4 (X + 5)}{5 X} X = \frac{4 X + 1}{5} (5 X)$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (X + 5)}{X} X = \frac{4 X + 1}{5} (5 X)$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $X$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (X + 5)}{X} X = \frac{4 X + 1}{5} (5 X)$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (X + 5) = \frac{4 X + 1}{5} (5 X)$

Schritt 3.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$4 X + 4 \cdot 5 = \frac{4 X + 1}{5} (5 X)$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$4 X + 20 = \frac{4 X + 1}{5} (5 X)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 X + 20 = 5 \frac{4 X + 1}{5} X$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 X + 20 = 5 \frac{4 X + 1}{5} X$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 X + 20 = (4 X + 1) X$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 X + 20 = 4 X \cdot X + 1 X$

Schritt 3.3.4

Multipliziere $X$ mit $X$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.4.1

Bewege $X$ .

$4 X + 20 = 4 (X \cdot X) + 1 X$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $X$ mit $X$ .

$4 X + 20 = 4 X^{2} + 1 X$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $X$ mit $1$ .

$4 X + 20 = 4 X^{2} + X$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $X$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 X^{2} + X = 4 X + 20$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $X$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4 X$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 X^{2} + X - 4 X = 20$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $4 X$ von $X$ .

$4 X^{2} - 3 X = 20$

Schritt 4.3

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 X^{2} - 3 X - 20 = 0$

Schritt 4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 3$ und $c = - 20$ in die Quadratformel ein und löse nach $X$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 20$ .

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Schritt 4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 20$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.6.1.3

Addiere $9$ und $320$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{329}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{329}}{8}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 20$ .

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Schritt 4.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 20$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.7.1.3

Addiere $9$ und $320$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{329}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{329}}{8}$

Schritt 4.7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$X = \frac{3 + \sqrt{329}}{8}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 20$ .

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Schritt 4.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 20$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.8.1.3

Addiere $9$ und $320$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{329}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$X = \frac{3 \pm \sqrt{329}}{8}$

Schritt 4.8.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$X = \frac{3 - \sqrt{329}}{8}$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$X = \frac{3 + \sqrt{329}}{8}, \frac{3 - \sqrt{329}}{8}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$X = \frac{3 + \sqrt{329}}{8}, \frac{3 - \sqrt{329}}{8}$

Dezimalform:

$X = 2.64229464 \dots, - 1.89229464 \dots$