Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} + {(2 x - 5)}^{2} = 610$

Schritt 1

Subtrahiere $610$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + {(2 x - 5)}^{2} - 610 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $x^{2} + {(2 x - 5)}^{2} - 610$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(2 x - 5)}^{2}$ als $(2 x - 5) (2 x - 5)$ um.

$x^{2} + (2 x - 5) (2 x - 5) - 610 = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(2 x - 5) (2 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5) - 610 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5) - 610 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 610 = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 610 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 610 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 610 = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 610 = 0$

Schritt 2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$x^{2} + 4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 610 = 0$

Schritt 2.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$x^{2} + 4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 - 610 = 0$

Schritt 2.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$x^{2} + 4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25 - 610 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$x^{2} + 4 x^{2} - 20 x + 25 - 610 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$5 x^{2} - 20 x + 25 - 610 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $610$ von $25$ .

$5 x^{2} - 20 x - 585 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} - 20 x - 585$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$5 (x^{2}) - 20 x - 585 = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 20 x$ heraus.

$5 (x^{2}) + 5 (- 4 x) - 585 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $5$ aus $- 585$ heraus.

$5 x^{2} + 5 (- 4 x) + 5 \cdot - 117 = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} + 5 (- 4 x)$ heraus.

$5 (x^{2} - 4 x) + 5 \cdot - 117 = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{2} - 4 x) + 5 \cdot - 117$ heraus.

$5 (x^{2} - 4 x - 117) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 117$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 117$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 13, 9$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$5 ((x - 13) (x + 9)) = 0$

Schritt 3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$5 (x - 13) (x + 9) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 13 = 0$

$x + 9 = 0$

Schritt 5

Setze $x - 13$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 13$ gleich $0$ .

$x - 13 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $13$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 13$

Schritt 6

Setze $x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 (x - 13) (x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 13, - 9$