Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} + {(\frac{4 x + 25}{3})}^{2} = 25$

Schritt 1

Vereinfache $x^{2} + {(\frac{4 x + 25}{3})}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4 x + 25}{3}$ an.

$x^{2} + \frac{{(4 x + 25)}^{2}}{3^{2}} = 25$

Schritt 1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{{(4 x + 25)}^{2}}{9} = 25$

Schritt 1.2

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$x^{2} \cdot \frac{9}{9} + \frac{{(4 x + 25)}^{2}}{9} = 25$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 9}{9} + \frac{{(4 x + 25)}^{2}}{9} = 25$

Schritt 1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 9 + {(4 x + 25)}^{2}}{9} = 25$

Schritt 1.4

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} + {(4 x + 25)}^{2}}{9} = 25$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $9$ .

$\frac{9 x^{2} + {(4 x + 25)}^{2}}{9} \cdot 9 = 25 \cdot 9$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x^{2} + {(4 x + 25)}^{2}}{9} \cdot 9 = 25 \cdot 9$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{2} + {(4 x + 25)}^{2} = 25 \cdot 9$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $25$ mit $9$ .

$9 x^{2} + {(4 x + 25)}^{2} = 225$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $225$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} + {(4 x + 25)}^{2} - 225 = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache $9 x^{2} + {(4 x + 25)}^{2} - 225$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe ${(4 x + 25)}^{2}$ als $(4 x + 25) (4 x + 25)$ um.

$9 x^{2} + (4 x + 25) (4 x + 25) - 225 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $(4 x + 25) (4 x + 25)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} + 4 x (4 x + 25) + 25 (4 x + 25) - 225 = 0$

Schritt 4.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 25 + 25 (4 x + 25) - 225 = 0$

Schritt 4.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 25 + 25 (4 x) + 25 \cdot 25 - 225 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 x^{2} + 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 25 + 25 (4 x) + 25 \cdot 25 - 225 = 0$

Schritt 4.2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$9 x^{2} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 25 + 25 (4 x) + 25 \cdot 25 - 225 = 0$

Schritt 4.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$9 x^{2} + 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 25 + 25 (4 x) + 25 \cdot 25 - 225 = 0$

Schritt 4.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$9 x^{2} + 16 x^{2} + 4 x \cdot 25 + 25 (4 x) + 25 \cdot 25 - 225 = 0$

Schritt 4.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $25$ mit $4$ .

$9 x^{2} + 16 x^{2} + 100 x + 25 (4 x) + 25 \cdot 25 - 225 = 0$

Schritt 4.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$9 x^{2} + 16 x^{2} + 100 x + 100 x + 25 \cdot 25 - 225 = 0$

Schritt 4.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $25$ mit $25$ .

$9 x^{2} + 16 x^{2} + 100 x + 100 x + 625 - 225 = 0$

Schritt 4.2.1.3.2

Addiere $100 x$ und $100 x$ .

$9 x^{2} + 16 x^{2} + 200 x + 625 - 225 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $9 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$25 x^{2} + 200 x + 625 - 225 = 0$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $225$ von $625$ .

$25 x^{2} + 200 x + 400 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $25$ aus $25 x^{2} + 200 x + 400$ heraus.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $25$ aus $25 x^{2}$ heraus.

$25 (x^{2}) + 200 x + 400 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Faktorisiere $25$ aus $200 x$ heraus.

$25 (x^{2}) + 25 (8 x) + 400 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $25$ aus $400$ heraus.

$25 x^{2} + 25 (8 x) + 25 \cdot 16 = 0$

Schritt 4.3.1.4

Faktorisiere $25$ aus $25 x^{2} + 25 (8 x)$ heraus.

$25 (x^{2} + 8 x) + 25 \cdot 16 = 0$

Schritt 4.3.1.5

Faktorisiere $25$ aus $25 (x^{2} + 8 x) + 25 \cdot 16$ heraus.

$25 (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$25 (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

Schritt 4.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 4.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$25 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 4.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$25 {(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $25 {(x + 4)}^{2} = 0$ durch $25$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $25 {(x + 4)}^{2} = 0$ durch $25$ .

$\frac{25 {(x + 4)}^{2}}{25} = \frac{0}{25}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 {(x + 4)}^{2}}{25} = \frac{0}{25}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere ${(x + 4)}^{2}$ durch $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{25}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Dividiere $0$ durch $25$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 4.6

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$