Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{11}{16} = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 5}{2} - \frac{11}{16} = 0$

Schritt 1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} - \frac{11}{16} = 0$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $16$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x^{2} + 16 (- \frac{5 x}{2}) + 16 (- \frac{11}{16}) = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 x}{2}$ in den Zähler.

$16 x^{2} + 16 (\frac{- 5 x}{2}) + 16 (- \frac{11}{16}) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$16 x^{2} + 2 (8) (\frac{- 5 x}{2}) + 16 (- \frac{11}{16}) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 x^{2} + 2 \cdot (8 (\frac{- 5 x}{2})) + 16 (- \frac{11}{16}) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$16 x^{2} + 8 (- 5 x) + 16 (- \frac{11}{16}) = 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$16 x^{2} - 40 x + 16 (- \frac{11}{16}) = 0$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 2.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{11}{16}$ in den Zähler.

$16 x^{2} - 40 x + 16 (\frac{- 11}{16}) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 x^{2} - 40 x + 16 (\frac{- 11}{16}) = 0$

Schritt 2.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$16 x^{2} - 40 x - 11 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 16$ , $b = - 40$ und $c = - 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot - 11)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 40$ mit $2$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot - 11$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 64 \cdot - 11}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 11$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 + 704}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3

Addiere $1600$ und $704$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{2304}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $2304$ als $48^{2}$ um.

$x = \frac{40 \pm \sqrt{48^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{40 \pm 48}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = \frac{40 \pm 48}{32}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{40 \pm 48}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 6}{4}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 40$ mit $2$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot - 11$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 64 \cdot - 11}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 11$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 + 704}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.1.3

Addiere $1600$ und $704$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{2304}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $2304$ als $48^{2}$ um.

$x = \frac{40 \pm \sqrt{48^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{40 \pm 48}{2 \cdot 16}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = \frac{40 \pm 48}{32}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{40 \pm 48}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 6}{4}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{5 + 6}{4}$

Schritt 6.5

Addiere $5$ und $6$ .

$x = \frac{11}{4}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 40$ mit $2$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 16}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot - 11$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 64 \cdot - 11}}{2 \cdot 16}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 11$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 + 704}}{2 \cdot 16}$

Schritt 7.1.3

Addiere $1600$ und $704$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{2304}}{2 \cdot 16}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $2304$ als $48^{2}$ um.

$x = \frac{40 \pm \sqrt{48^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{40 \pm 48}{2 \cdot 16}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = \frac{40 \pm 48}{32}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{40 \pm 48}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 6}{4}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{5 - 6}{4}$

Schritt 7.5

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{11}{4}, - \frac{1}{4}$