Algebravorstufe Beispiele

$d^{2} + {(d - 15)}^{2} = 900$

Schritt 1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $900$ von beiden Seiten der Gleichung.

$d^{2} + {(d - 15)}^{2} - 900 = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache $d^{2} + {(d - 15)}^{2} - 900$ .

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Schreibe ${(d - 15)}^{2}$ als $(d - 15) (d - 15)$ um.

$d^{2} + (d - 15) (d - 15) - 900 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Multipliziere $(d - 15) (d - 15)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$d^{2} + d (d - 15) - 15 (d - 15) - 900 = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$d^{2} + d \cdot d + d \cdot - 15 - 15 (d - 15) - 900 = 0$

Schritt 1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$d^{2} + d \cdot d + d \cdot - 15 - 15 d - 15 \cdot - 15 - 900 = 0$

Schritt 1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $d$ mit $d$ .

$d^{2} + d^{2} + d \cdot - 15 - 15 d - 15 \cdot - 15 - 900 = 0$

Schritt 1.2.1.3.1.2

Bringe $- 15$ auf die linke Seite von $d$ .

$d^{2} + d^{2} - 15 \cdot d - 15 d - 15 \cdot - 15 - 900 = 0$

Schritt 1.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 15$ .

$d^{2} + d^{2} - 15 d - 15 d + 225 - 900 = 0$

Schritt 1.2.1.3.2

Subtrahiere $15 d$ von $- 15 d$ .

$d^{2} + d^{2} - 30 d + 225 - 900 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $d^{2}$ und $d^{2}$ .

$2 d^{2} - 30 d + 225 - 900 = 0$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $900$ von $225$ .

$2 d^{2} - 30 d - 675 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 30$ und $c = - 675$ in die Quadratformel ein und löse nach $d$ auf.

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 675)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$d = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 2 \cdot - 675}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 675$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$d = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 8 \cdot - 675}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 675$ .

$d = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 5400}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.3

Addiere $900$ und $5400$ .

$d = \frac{30 \pm \sqrt{6300}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $6300$ als $30^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $900$ aus $6300$ heraus.

$d = \frac{30 \pm \sqrt{900 (7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe $900$ als $30^{2}$ um.

$d = \frac{30 \pm \sqrt{30^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$d = \frac{30 \pm 30 \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{30 \pm 30 \sqrt{7}}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{30 \pm 30 \sqrt{7}}{4}$ .

$d = \frac{15 \pm 15 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$d = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 2 \cdot - 675}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 675$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$d = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 8 \cdot - 675}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 675$ .

$d = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 5400}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Addiere $900$ und $5400$ .

$d = \frac{30 \pm \sqrt{6300}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $6300$ als $30^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $900$ aus $6300$ heraus.

$d = \frac{30 \pm \sqrt{900 (7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $900$ als $30^{2}$ um.

$d = \frac{30 \pm \sqrt{30^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$d = \frac{30 \pm 30 \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{30 \pm 30 \sqrt{7}}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{30 \pm 30 \sqrt{7}}{4}$ .

$d = \frac{15 \pm 15 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$d = \frac{15 + 15 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$d = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 2 \cdot - 675}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 675$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$d = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 8 \cdot - 675}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 675$ .

$d = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 5400}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3

Addiere $900$ und $5400$ .

$d = \frac{30 \pm \sqrt{6300}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $6300$ als $30^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $900$ aus $6300$ heraus.

$d = \frac{30 \pm \sqrt{900 (7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $900$ als $30^{2}$ um.

$d = \frac{30 \pm \sqrt{30^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$d = \frac{30 \pm 30 \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{30 \pm 30 \sqrt{7}}{4}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{30 \pm 30 \sqrt{7}}{4}$ .

$d = \frac{15 \pm 15 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$d = \frac{15 - 15 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$d = \frac{15 + 15 \sqrt{7}}{2}, \frac{15 - 15 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$d = \frac{15 + 15 \sqrt{7}}{2}, \frac{15 - 15 \sqrt{7}}{2}$

Dezimalform:

$d = 27.34313483 \dots, - 12.34313483 \dots$