Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} + \frac{6}{17} x + \frac{9}{289} = \frac{16}{289}$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{6}{17}$ und $x$ .

$x^{2} + \frac{6 x}{17} + \frac{9}{289} = \frac{16}{289}$

Schritt 2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\frac{16}{289}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + \frac{6 x}{17} + \frac{9}{289} - \frac{16}{289} = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache $x^{2} + \frac{6 x}{17} + \frac{9}{289} - \frac{16}{289}$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{6 x}{17} + \frac{9 - 16}{289} = 0$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $16$ von $9$ .

$x^{2} + \frac{6 x}{17} + \frac{- 7}{289} = 0$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} + \frac{6 x}{17} - \frac{7}{289} = 0$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $289$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$289 x^{2} + 289 (\frac{6 x}{17}) + 289 (- \frac{7}{289}) = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $17$ aus $289$ heraus.

$289 x^{2} + 17 (17) (\frac{6 x}{17}) + 289 (- \frac{7}{289}) = 0$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$289 x^{2} + 17 \cdot (17 (\frac{6 x}{17})) + 289 (- \frac{7}{289}) = 0$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$289 x^{2} + 17 (6 x) + 289 (- \frac{7}{289}) = 0$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $17$ .

$289 x^{2} + 102 x + 289 (- \frac{7}{289}) = 0$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $289$ .

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Schritt 3.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{289}$ in den Zähler.

$289 x^{2} + 102 x + 289 (\frac{- 7}{289}) = 0$

Schritt 3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$289 x^{2} + 102 x + 289 (\frac{- 7}{289}) = 0$

Schritt 3.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$289 x^{2} + 102 x - 7 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 289$ , $b = 102$ und $c = - 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 102 \pm \sqrt{102^{2} - 4 \cdot (289 \cdot - 7)}}{2 \cdot 289}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $102$ mit $2$ .

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{10404 - 4 \cdot 289 \cdot - 7}}{2 \cdot 289}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 289 \cdot - 7$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $289$ .

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{10404 - 1156 \cdot - 7}}{2 \cdot 289}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 1156$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{10404 + 8092}}{2 \cdot 289}$

Schritt 6.1.3

Addiere $10404$ und $8092$ .

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{18496}}{2 \cdot 289}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $18496$ als $136^{2}$ um.

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{136^{2}}}{2 \cdot 289}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 102 \pm 136}{2 \cdot 289}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $289$ .

$x = \frac{- 102 \pm 136}{578}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 102 \pm 136}{578}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 4}{17}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $102$ mit $2$ .

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{10404 - 4 \cdot 289 \cdot - 7}}{2 \cdot 289}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 289 \cdot - 7$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $289$ .

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{10404 - 1156 \cdot - 7}}{2 \cdot 289}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 1156$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{10404 + 8092}}{2 \cdot 289}$

Schritt 7.1.3

Addiere $10404$ und $8092$ .

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{18496}}{2 \cdot 289}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $18496$ als $136^{2}$ um.

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{136^{2}}}{2 \cdot 289}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 102 \pm 136}{2 \cdot 289}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $289$ .

$x = \frac{- 102 \pm 136}{578}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 102 \pm 136}{578}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 4}{17}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + 4}{17}$

Schritt 7.5

Addiere $- 3$ und $4$ .

$x = \frac{1}{17}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $102$ mit $2$ .

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{10404 - 4 \cdot 289 \cdot - 7}}{2 \cdot 289}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 289 \cdot - 7$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $289$ .

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{10404 - 1156 \cdot - 7}}{2 \cdot 289}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 1156$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{10404 + 8092}}{2 \cdot 289}$

Schritt 8.1.3

Addiere $10404$ und $8092$ .

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{18496}}{2 \cdot 289}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $18496$ als $136^{2}$ um.

$x = \frac{- 102 \pm \sqrt{136^{2}}}{2 \cdot 289}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 102 \pm 136}{2 \cdot 289}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $289$ .

$x = \frac{- 102 \pm 136}{578}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{- 102 \pm 136}{578}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 4}{17}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - 4}{17}$

Schritt 8.5

Subtrahiere $4$ von $- 3$ .

$x = \frac{- 7}{17}$

Schritt 8.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7}{17}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1}{17}, - \frac{7}{17}$