Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} + {(x - 5)}^{2} = 10$

Schritt 1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + {(x - 5)}^{2} - 10 = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache $x^{2} + {(x - 5)}^{2} - 10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$x^{2} + (x - 5) (x - 5) - 10 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x (x - 5) - 5 (x - 5) - 10 = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5) - 10 = 0$

Schritt 1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5 - 10 = 0$

Schritt 1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5 - 10 = 0$

Schritt 1.2.1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5 - 10 = 0$

Schritt 1.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$x^{2} + x^{2} - 5 x - 5 x + 25 - 10 = 0$

Schritt 1.2.1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$x^{2} + x^{2} - 10 x + 25 - 10 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x + 25 - 10 = 0$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $10$ von $25$ .

$2 x^{2} - 10 x + 15 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 10$ und $c = 15$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 15)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 15$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 8 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $15$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 120}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $120$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 15$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 8 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $15$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 120}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $120$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{5 + i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 15$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 8 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $15$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 120}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $120$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{5 - i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + i \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - i \sqrt{5}}{2}$