Algebravorstufe Beispiele

$x^{2} - \frac{2}{3} x - \frac{26}{9} = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{26}{9} = 0$

Schritt 1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} - \frac{26}{9} = 0$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $9$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} + 9 (- \frac{2 x}{3}) + 9 (- \frac{26}{9}) = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x}{3}$ in den Zähler.

$9 x^{2} + 9 (\frac{- 2 x}{3}) + 9 (- \frac{26}{9}) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{- 2 x}{3}) + 9 (- \frac{26}{9}) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{- 2 x}{3})) + 9 (- \frac{26}{9}) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{2} + 3 (- 2 x) + 9 (- \frac{26}{9}) = 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$9 x^{2} - 6 x + 9 (- \frac{26}{9}) = 0$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{26}{9}$ in den Zähler.

$9 x^{2} - 6 x + 9 (\frac{- 26}{9}) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{2} - 6 x + 9 (\frac{- 26}{9}) = 0$

Schritt 2.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{2} - 6 x - 26 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 9$ , $b = - 6$ und $c = - 26$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 26)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot - 26}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 26$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot - 26}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 26$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 936}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.3

Addiere $36$ und $936$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{972}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $972$ als $18^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $324$ aus $972$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{324 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $324$ als $18^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 18 \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm 18 \sqrt{3}}{18}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 18 \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm 3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot - 26}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 26$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot - 26}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 26$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 936}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.3

Addiere $36$ und $936$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{972}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $972$ als $18^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $324$ aus $972$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{324 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $324$ als $18^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 18 \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm 18 \sqrt{3}}{18}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 18 \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm 3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + 3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot - 26}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 26$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot - 26}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 26$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 936}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.3

Addiere $36$ und $936$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{972}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $972$ als $18^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $324$ aus $972$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{324 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $324$ als $18^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 18 \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm 18 \sqrt{3}}{18}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 18 \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm 3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - 3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + 3 \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - 3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1 + 3 \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - 3 \sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$x = 2.06538414 \dots, - 1.39871747 \dots$