Algebravorstufe Beispiele

$\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}} = 39$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}}}^{3} = 39^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}}$ als ${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 39^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 39^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 39^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(27 x \sqrt{x})}^{1} = 39^{3}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$27 x \sqrt{x} = 39^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $39$ mit $3$ .

$27 x \sqrt{x} = 59319$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(27 x \sqrt{x})}^{2} = 59319^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(27 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(27 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(27 (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = 59319^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

${(27 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = 59319^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(27 x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = 59319^{2}$

Schritt 4.2.1.1.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(27 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(27 x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Schritt 4.2.1.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

${(27 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Produktregel auf $27 x^{\frac{3}{2}}$ an.

$27^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $27$ mit $2$ .

$729 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 59319^{2}$

Schritt 4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$729 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 59319^{2}$

Schritt 4.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$729 x^{3} = 59319^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $59319$ mit $2$ .

$729 x^{3} = 3518743761$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $3518743761$ von beiden Seiten der Gleichung.

$729 x^{3} - 3518743761 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $729$ aus $729 x^{3} - 3518743761$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $729$ aus $729 x^{3}$ heraus.

$729 (x^{3}) - 3518743761 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $729$ aus $- 3518743761$ heraus.

$729 x^{3} + 729 \cdot - 4826809 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $729$ aus $729 x^{3} + 729 \cdot - 4826809$ heraus.

$729 (x^{3} - 4826809) = 0$

Schritt 5.2.2

Schreibe $4826809$ als $169^{3}$ um.

$729 (x^{3} - 169^{3}) = 0$

Schritt 5.2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 169$ .

$729 ((x - 169) (x^{2} + x \cdot 169 + 169^{2})) = 0$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinfache.

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Schritt 5.2.4.1.1

Bringe $169$ auf die linke Seite von $x$ .

$729 ((x - 169) (x^{2} + 169 x + 169^{2})) = 0$

Schritt 5.2.4.1.2

Potenziere $169$ mit $2$ .

$729 ((x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561)) = 0$

Schritt 5.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$729 (x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 169 = 0$

$x^{2} + 169 x + 28561 = 0$

Schritt 5.4

Setze $x - 169$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $x - 169$ gleich $0$ .

$x - 169 = 0$

Schritt 5.4.2

Addiere $169$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 169$

Schritt 5.5

Setze $x^{2} + 169 x + 28561$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $x^{2} + 169 x + 28561$ gleich $0$ .

$x^{2} + 169 x + 28561 = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $x^{2} + 169 x + 28561 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 169$ und $c = 28561$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 169 \pm \sqrt{169^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 28561)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.3.1.1

Potenziere $169$ mit $2$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ .

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Schritt 5.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.3

Subtrahiere $114244$ von $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.4

Schreibe $- 85683$ als $- 1 (85683)$ um.

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (85683)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ um.

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.7

Schreibe $85683$ als $169^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $28561$ aus $85683$ heraus.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.7.2

Schreibe $28561$ als $169^{2}$ um.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.1.9

Bringe $169$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.4.1.1

Potenziere $169$ mit $2$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ .

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Schritt 5.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.3

Subtrahiere $114244$ von $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.4

Schreibe $- 85683$ als $- 1 (85683)$ um.

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (85683)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ um.

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.7

Schreibe $85683$ als $169^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.5.2.4.1.7.1

Faktorisiere $28561$ aus $85683$ heraus.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.7.2

Schreibe $28561$ als $169^{2}$ um.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.1.9

Bringe $169$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.2.4.4

Schreibe $- 169$ als $- 1 (169)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $169 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - (- 169 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 5.5.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (169) - (- 169 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (169 - 169 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 5.5.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.5.1.1

Potenziere $169$ mit $2$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ .

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Schritt 5.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.3

Subtrahiere $114244$ von $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.4

Schreibe $- 85683$ als $- 1 (85683)$ um.

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (85683)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ um.

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.7

Schreibe $85683$ als $169^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.5.2.5.1.7.1

Faktorisiere $28561$ aus $85683$ heraus.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.7.2

Schreibe $28561$ als $169^{2}$ um.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.1.9

Bringe $169$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.2.5.4

Schreibe $- 169$ als $- 1 (169)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 169 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - (169 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 5.5.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (169) - (169 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (169 + 169 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 5.5.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $729 (x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561) = 0$ wahr machen.

$x = 169, - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$