Algebravorstufe Beispiele

$\sqrt{5 x - 12} - \sqrt{x} - 3 = - 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{5 x - 12}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $\sqrt{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{5 x - 12} - 3 = - 1 + \sqrt{x}$

Schritt 1.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{5 x - 12} = - 1 + \sqrt{x} + 3$

Schritt 1.3

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\sqrt{5 x - 12} = 2 + \sqrt{x}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{5 x - 12}}^{2} = {(2 + \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x - 12}$ als ${(5 x - 12)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(5 x - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(5 x - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 x - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x - 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(5 x - 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(5 x - 12)}^{1} = {(2 + \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$5 x - 12 = {(2 + \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(2 + \sqrt{x})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(2 + \sqrt{x})}^{2}$ als $(2 + \sqrt{x}) (2 + \sqrt{x})$ um.

$5 x - 12 = (2 + \sqrt{x}) (2 + \sqrt{x})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(2 + \sqrt{x}) (2 + \sqrt{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x - 12 = 2 (2 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (2 + \sqrt{x})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x - 12 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x} + \sqrt{x} (2 + \sqrt{x})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x - 12 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 2 + \sqrt{x} \sqrt{x}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 2 + \sqrt{x} \sqrt{x}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{x}$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + x^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Vereinfache.

$5 x - 12 = 4 + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + x$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $2 \sqrt{x}$ und $2 \sqrt{x}$ .

$5 x - 12 = 4 + 4 \sqrt{x} + x$

Schritt 4

Löse nach $4 \sqrt{x}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $4 + 4 \sqrt{x} + x = 5 x - 12$ um.

$4 + 4 \sqrt{x} + x = 5 x - 12$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $4 \sqrt{x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sqrt{x} + x = 5 x - 12 - 4$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sqrt{x} = 5 x - 12 - 4 - x$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $x$ von $5 x$ .

$4 \sqrt{x} = 4 x - 12 - 4$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $4$ von $- 12$ .

$4 \sqrt{x} = 4 x - 16$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(4 \sqrt{x})}^{2} = {(4 x - 16)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(4 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(4 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $4 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$4^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$16 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 x^{1} = {(4 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$16 x = {(4 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(4 x - 16)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(4 x - 16)}^{2}$ als $(4 x - 16) (4 x - 16)$ um.

$16 x = (4 x - 16) (4 x - 16)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(4 x - 16) (4 x - 16)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x = 4 x (4 x - 16) - 16 (4 x - 16)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x = 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 - 16 (4 x - 16)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x = 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 - 16 (4 x) - 16 \cdot - 16$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 x = 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 - 16 (4 x) - 16 \cdot - 16$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$16 x = 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 - 16 (4 x) - 16 \cdot - 16$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$16 x = 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - 16 (4 x) - 16 \cdot - 16$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 x = 16 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - 16 (4 x) - 16 \cdot - 16$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $4$ .

$16 x = 16 x^{2} - 64 x - 16 (4 x) - 16 \cdot - 16$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 16$ .

$16 x = 16 x^{2} - 64 x - 64 x - 16 \cdot - 16$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 16$ .

$16 x = 16 x^{2} - 64 x - 64 x + 256$

Schritt 6.3.1.3.2

Subtrahiere $64 x$ von $- 64 x$ .

$16 x = 16 x^{2} - 128 x + 256$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$16 x^{2} - 128 x + 256 = 16 x$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $16 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} - 128 x + 256 - 16 x = 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $16 x$ von $- 128 x$ .

$16 x^{2} - 144 x + 256 = 0$

Schritt 7.3

Faktorisiere $16$ aus $16 x^{2} - 144 x + 256$ heraus.

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$16 (x^{2}) - 144 x + 256 = 0$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $16$ aus $- 144 x$ heraus.

$16 (x^{2}) + 16 (- 9 x) + 256 = 0$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $16$ aus $256$ heraus.

$16 x^{2} + 16 (- 9 x) + 16 \cdot 16 = 0$

Schritt 7.3.4

Faktorisiere $16$ aus $16 x^{2} + 16 (- 9 x)$ heraus.

$16 (x^{2} - 9 x) + 16 \cdot 16 = 0$

Schritt 7.3.5

Faktorisiere $16$ aus $16 (x^{2} - 9 x) + 16 \cdot 16$ heraus.

$16 (x^{2} - 9 x + 16) = 0$

Schritt 7.4

Teile jeden Ausdruck in $16 (x^{2} - 9 x + 16) = 0$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Teile jeden Ausdruck in $16 (x^{2} - 9 x + 16) = 0$ durch $16$ .

$\frac{16 (x^{2} - 9 x + 16)}{16} = \frac{0}{16}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 (x^{2} - 9 x + 16)}{16} = \frac{0}{16}$

Schritt 7.4.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 9 x + 16$ durch $1$ .

$x^{2} - 9 x + 16 = \frac{0}{16}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.3.1

Dividiere $0$ durch $16$ .

$x^{2} - 9 x + 16 = 0$

Schritt 7.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 9$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.7

Vereinfache.

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Schritt 7.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.7.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 7.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.7.1.3

Subtrahiere $64$ von $81$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}$

Schritt 7.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.8.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 7.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.8.1.3

Subtrahiere $64$ von $81$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}$

Schritt 7.8.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$

Schritt 7.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.9.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 7.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.9.1.3

Subtrahiere $64$ von $81$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}$

Schritt 7.9.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}$

Schritt 7.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}, \frac{9 - \sqrt{17}}{2}$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{5 x - 12} - \sqrt{x} - 3 = - 1$ nicht erfüllen.

$x = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$

Dezimalform:

$x = 6.56155281 \dots$