Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = x^{2} + 4 x - y$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y + y = x^{2} + 4 x$

Schritt 1.1.1.1.2

Addiere $y$ und $y$ .

$2 y = x^{2} + 4 x$

Schritt 1.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = x^{2} + 4 x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = x^{2} + 4 x$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x}{2}$

Schritt 1.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x}{2}$

Schritt 1.1.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x}{2}$

Schritt 1.1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x)}{2}$

Schritt 1.1.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x)}{2 (1)}$

Schritt 1.1.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{1}$

Schritt 1.1.1.2.3.1.2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x$

Schritt 1.1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{2} + 2 x$ an.

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 1.1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.1.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 \cdot 2$

Schritt 1.1.2.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = 2$

Schritt 1.1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{2}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.4

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = 0 - 1 \cdot 2$

Schritt 1.1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - 2$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$e = - 2$

Schritt 1.1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 2$ ein.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 2$

Schritt 1.1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{2} - 2$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 2$

$k = - 2$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 2, - 2)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 1.5.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, - \frac{3}{2})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 2$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 2, - 2)$

Brennpunkt: $(- 2, - \frac{3}{2})$

Symmetrieachse: $x = - 2$

Leitlinie: $y = - \frac{5}{2}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 2, - 2)$

Brennpunkt: $(- 2, - \frac{3}{2})$

Symmetrieachse: $x = - 2$

Leitlinie: $y = - \frac{5}{2}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{2} + 2 (- 4)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = \frac{16}{2} + 2 (- 4)$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $16$ durch $2$ .

$f (- 4) = 8 + 2 (- 4)$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f (- 4) = 8 - 8$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (- 4) = 0$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 4$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{2} + 2 (- 3)$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + 2 (- 3)$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} - 6$

Schritt 2.5.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 12}{2}$

Schritt 2.5.5.2

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 3) = - \frac{3}{2}$

Schritt 2.5.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 3$ ist $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + 2 (0)$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{2} + 2 (0)$

Schritt 2.8.1.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (0) = 0 + 2 (0)$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 2.8.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + 2 (- 1)$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + 2 (- 1)$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} - 2$

Schritt 2.11.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.11.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.11.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4}{2}$

Schritt 2.11.5.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.11.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 1) = - \frac{3}{2}$

Schritt 2.11.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - \frac{3}{2} \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 0 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 2, - 2)$

Brennpunkt: $(- 2, - \frac{3}{2})$

Symmetrieachse: $x = - 2$

Leitlinie: $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - \frac{3}{2} \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 0 \end{array}$

Schritt 4