Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 3$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und ${(x + 4)}^{2}$ .

$y = \frac{{(x + 4)}^{2}}{4} + 3$

Schritt 1.1.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 3$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = 3$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 4, 3)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache durch Teilen von Zahlen.

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Schritt 1.5.3.2.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 4, 4)$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 4$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = 2$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 4, 3)$

Brennpunkt: $(- 4, 4)$

Symmetrieachse: $x = - 4$

Leitlinie: $y = 2$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 4, 3)$

Brennpunkt: $(- 4, 4)$

Symmetrieachse: $x = - 4$

Leitlinie: $y = 2$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{4} + 2 (- 6) + 7$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{4} + 2 (- 6) + 7$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $36$ durch $4$ .

$f (- 6) = 9 + 2 (- 6) + 7$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f (- 6) = 9 - 12 + 7$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$f (- 6) = - 3 + 7$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $- 3$ und $7$ .

$f (- 6) = 4$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$4$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 6$ ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{4} + 2 (- 5) + 7$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + 2 (- 5) + 7$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} - 10 + 7$

Schritt 2.5.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.5.2.1

Schreibe $- 10$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} + 7$

Schritt 2.5.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 10}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{4}{4} + 7$

Schritt 2.5.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 10}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + 7$

Schritt 2.5.2.4

Schreibe $7$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1}$

Schritt 2.5.2.5

Mutltipliziere $\frac{7}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.5.2.6

Mutltipliziere $\frac{7}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 5) = \frac{25 - 10 \cdot 4 + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 28}{4}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.5.5.1

Subtrahiere $40$ von $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 15 + 28}{4}$

Schritt 2.5.5.2

Addiere $- 15$ und $28$ .

$f (- 5) = \frac{13}{4}$

Schritt 2.5.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 5$ ist $\frac{13}{4}$ .

$y = \frac{13}{4}$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 2 (- 2) + 7$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4} + 2 (- 2) + 7$

Schritt 2.8.1.2

Dividiere $4$ durch $4$ .

$f (- 2) = 1 + 2 (- 2) + 7$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = 1 - 4 + 7$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f (- 2) = - 3 + 7$

Schritt 2.8.2.2

Addiere $- 3$ und $7$ .

$f (- 2) = 4$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$4$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + 2 (- 3) + 7$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + 2 (- 3) + 7$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} - 6 + 7$

Schritt 2.11.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.11.2.1

Schreibe $- 6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} + 7$

Schritt 2.11.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 7$

Schritt 2.11.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 7$

Schritt 2.11.2.4

Schreibe $7$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1}$

Schritt 2.11.2.5

Mutltipliziere $\frac{7}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.11.2.6

Mutltipliziere $\frac{7}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.11.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 4 + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.11.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.4.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.11.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 28}{4}$

Schritt 2.11.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.11.5.1

Subtrahiere $24$ von $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 15 + 28}{4}$

Schritt 2.11.5.2

Addiere $- 15$ und $28$ .

$f (- 3) = \frac{13}{4}$

Schritt 2.11.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = - 3$ ist $\frac{13}{4}$ .

$y = \frac{13}{4}$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 4 \\ - 5 & \frac{13}{4} \\ - 4 & 3 \\ - 3 & \frac{13}{4} \\ - 2 & 4 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 4, 3)$

Brennpunkt: $(- 4, 4)$

Symmetrieachse: $x = - 4$

Leitlinie: $y = 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 4 \\ - 5 & \frac{13}{4} \\ - 4 & 3 \\ - 3 & \frac{13}{4} \\ - 2 & 4 \end{array}$

Schritt 4