Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = \frac{(2) (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 1.2

Da $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 1.3

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 1.3.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.3.2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.3.2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$2 \frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$2 \frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.2.1.2.3.1

Eine Konstante ungleich Null multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

$2 \frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.3.2

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 1.3.2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 1.3.2.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 1.3.2.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2.3.4.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2.3.5

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{2 x}$

Schritt 1.3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Schritt 1.3.2.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 1.3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x \cdot x}$

Schritt 1.3.2.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x}$

Schritt 1.3.2.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}$

Schritt 1.3.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Schritt 1.3.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.3.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 1$ heraus.

$2 (- 1) \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 1.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 1.3.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 0$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 0$

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{(2) (1 - \ln (1))}{{(1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 - 0)}{1^{2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 + 0)}{1^{2}}$

Schritt 2.2.1.3

Addiere $1$ und $0$ .

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1^{2}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1}$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1}$

Schritt 2.2.2.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (1) = 2$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 2.3

Konvertiere $2$ nach Dezimal.

$y = 2$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{{(2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus ${(2)}^{2}$ heraus.

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = \frac{2 (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2)}{2}$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ .

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$

Schritt 3.3

Konvertiere $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ nach Dezimal.

$y = 0.1534264$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{(2) (1 - \ln (3))}{{(3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = \frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ .

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Schritt 4.3

Konvertiere $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ nach Dezimal.

$y = - 0.02191384$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 2), (2, 0.1534264), (3, - 0.02191384)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & 0.153 \\ 3 & - 0.022 \end{array}$

Schritt 6