Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere ${(x + 1)}^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{{(x + 1)}^{2}}{2} - 3$

Schritt 1.1.2

Stelle die Terme um.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$h = - 1$

$k = - 3$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 1, - 3)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 1.5.3.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, - \frac{7}{2})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 1$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 1, - 3)$

Brennpunkt: $(- 1, - \frac{7}{2})$

Symmetrieachse: $x = - 1$

Leitlinie: $y = - \frac{5}{2}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 1, - 3)$

Brennpunkt: $(- 1, - \frac{7}{2})$

Symmetrieachse: $x = - 1$

Leitlinie: $y = - \frac{5}{2}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = - \frac{{(- 3)}^{2}}{2} - (- 3) - \frac{7}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- {(- 3)}^{2} - 7}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 1 \cdot 9 - 7}{2}$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 9 - 7}{2}$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $7$ von $- 9$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 16}{2}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = 3 + \frac{- 16}{2}$

Schritt 2.2.4.2

Dividiere $- 16$ durch $2$ .

$f (- 3) = 3 - 8$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$f (- 3) = - 5$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 3$ ist $- 5$ .

$y = - 5$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - (- 2) - \frac{7}{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- {(- 2)}^{2} - 7}{2}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 1 \cdot 4 - 7}{2}$

Schritt 2.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 4 - 7}{2}$

Schritt 2.5.3

Subtrahiere $7$ von $- 4$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 11}{2}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \frac{- 11}{2}$

Schritt 2.5.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = 2 - \frac{11}{2}$

Schritt 2.5.5

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11}{2}$

Schritt 2.5.6

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{11}{2}$

Schritt 2.5.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2 - 11}{2}$

Schritt 2.5.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 11}{2}$

Schritt 2.5.8.2

Subtrahiere $11$ von $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.5.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = - \frac{7}{2}$

Schritt 2.5.10

Die endgültige Lösung ist $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{7}{2}$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $- \frac{7}{2}$ .

$y = - \frac{7}{2}$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} - (1) - \frac{7}{2}$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = - (1) + \frac{- {(1)}^{2} - 7}{2}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - (1) + \frac{- 1 \cdot 1 - 7}{2}$

Schritt 2.8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = - (1) + \frac{- 1 - 7}{2}$

Schritt 2.8.3

Subtrahiere $7$ von $- 1$ .

$f (1) = - (1) + \frac{- 8}{2}$

Schritt 2.8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = - 1 + \frac{- 8}{2}$

Schritt 2.8.4.2

Dividiere $- 8$ durch $2$ .

$f (1) = - 1 - 4$

Schritt 2.8.5

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$f (1) = - 5$

Schritt 2.8.6

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $- 5$ .

$y = - 5$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - \frac{7}{2}$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (0) = - (0) + \frac{- {(0)}^{2} - 7}{2}$

Schritt 2.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{- 0 - 7}{2}$

Schritt 2.11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{0 - 7}{2}$

Schritt 2.11.3

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.11.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.11.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (0) = 0 - \frac{7}{2}$

Schritt 2.11.5

Subtrahiere $\frac{7}{2}$ von $0$ .

$f (0) = - \frac{7}{2}$

Schritt 2.11.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{7}{2}$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $- \frac{7}{2}$ .

$y = - \frac{7}{2}$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - 3 \\ 0 & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 5 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 1, - 3)$

Brennpunkt: $(- 1, - \frac{7}{2})$

Symmetrieachse: $x = - 1$

Leitlinie: $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - 3 \\ 0 & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 5 \end{array}$

Schritt 4