Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = \sqrt{7 x - 3}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \sqrt{7 x - 3}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{7 x - 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$7 x - 3 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$7 x \geq 3$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x \geq 3$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x \geq 3$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} \geq \frac{3}{7}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} \geq \frac{3}{7}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{3}{7}$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[\frac{3}{7}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq \frac{3}{7}}$

Intervallschreibweise:

$[\frac{3}{7}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq \frac{3}{7}}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $\frac{3}{7}$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \sqrt{7 x - 3}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{7}$ .

$f (\frac{3}{7}) = \sqrt{7 (\frac{3}{7}) - 3}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3}{7}) = \sqrt{7 (\frac{3}{7}) - 3}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3}{7}) = \sqrt{3 - 3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{3}{7}) = \sqrt{0}$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (\frac{3}{7}) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{3}{7}) = 0$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(\frac{3}{7}, 0)$ .

$(\frac{3}{7}, 0)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \sqrt{7 x - 3}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 2)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \sqrt{7 (1) - 3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f (1) = \sqrt{7 - 3}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$f (1) = \sqrt{4}$

Schritt 4.1.2.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (1) = \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (1) = 2$

Schritt 4.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \sqrt{7 x - 3}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, \sqrt{11})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \sqrt{7 (2) - 3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f (2) = \sqrt{14 - 3}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $14$ .

$f (2) = \sqrt{11}$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{11}$ .

$y = \sqrt{11}$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(0.\overline{428571}, 0), (1, 2), (2, 3.32)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 0.429 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3.32 \end{array}$

Schritt 5