Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = \sqrt{6 - 3 x}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \sqrt{6 - 3 x}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 (2 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 (2 - x) \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (2 - x) \geq 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (2 - x) \geq 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (2 - x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 - x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.1.2.1.2

Dividiere $2 - x$ durch $1$ .

$2 - x \geq \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$2 - x \geq 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 2$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x \leq 2$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 2}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $2$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \sqrt{3 (2 - x)}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \sqrt{3 (2 - (2))}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = \sqrt{3 (2 - 2)}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (2) = \sqrt{3 \cdot 0}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (2) = \sqrt{0}$

Schritt 2.2.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (2) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (2) = 0$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(2, 0)$ .

$(2, 0)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = \sqrt{3 (2 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, \sqrt{6})$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sqrt{3 (2 - (0))}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \sqrt{3 (2 + 0)}$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$f (0) = \sqrt{3 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (0) = \sqrt{6}$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{6}$ .

$y = \sqrt{6}$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \sqrt{3 (2 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, \sqrt{3})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \sqrt{3 (2 - (1))}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = \sqrt{3 (2 - 1)}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (1) = \sqrt{3 \cdot 1}$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = \sqrt{3}$

Schritt 4.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3}$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(2, 0), (0, 2.45), (1, 1.73)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 2.45 \\ 1 & 1.73 \\ 2 & 0 \end{array}$

Schritt 5