Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = \sqrt{12 - 3 x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \sqrt{12 - 3 x^{2}}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 (2 + x) (2 - x) \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $2 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Setze $2 + x$ gleich $0$ .

$2 + x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.3

Setze $2 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $2 - x$ gleich $0$ .

$2 - x = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $2 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 1.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 1.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (2 + x) (2 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Schritt 1.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 1.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 1.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.1.3

Die linke Seite $- 36$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (2 + 0) (2 - (0)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.2.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 1.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.3.3

Die linke Seite $- 36$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 1.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 \leq x \leq 2$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 2, 2]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Intervallschreibweise:

$[- 2, 2]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Schritt 2

Um die Endpunkte zu finden, setze die Schranken der $x$ -Werte des Definitionsbereichs in $f (x) = \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{3 (2 - 2) (2 - (- 2))}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 2) = \sqrt{3 (2 - 2) (2 - (- 2))}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{3 (2 - 2) (2 + 2)}$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{3 \cdot (0 (2 + 2))}$

Schritt 2.2.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (- 2) = \sqrt{0 (2 + 2)}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $2 + 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{0}$

Schritt 2.2.5

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (- 2) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 2) = 0$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \sqrt{3 (2 + 2) (2 - (2))}$

Schritt 2.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.4.1

Entferne die Klammern.

$f (2) = \sqrt{3 (2 + 2) (2 - (2))}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = \sqrt{3 (2 + 2) (2 - 2)}$

Schritt 2.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f (2) = \sqrt{3 \cdot (4 (2 - 2))}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (2) = \sqrt{12 (2 - 2)}$

Schritt 2.4.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (2) = \sqrt{12 \cdot 0}$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$f (2) = \sqrt{0}$

Schritt 2.4.7

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (2) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (2) = 0$

Schritt 2.4.9

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Die Endpunkte sind $(- 2, 0), (2, 0)$ .

$(- 2, 0), (2, 0)$

Schritt 4

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(- 2, 0), (2, 0),$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}$

Schritt 5