Algebravorstufe Beispiele

f (x) = \sqrt{x^{4} - 81}

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 81}$

Schritt 1

Ermittle den

y

$y$ -Wert bei

x = - 3

$x = - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

- 3

$- 3$ .

f (- 3) = \sqrt{({(- 3)}^{2} + 9) ((- 3) + 3) ((- 3) - 3)}

$f (- 3) = \sqrt{({(- 3)}^{2} + 9) ((- 3) + 3) ((- 3) - 3)}$

Schritt 1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Potenziere

- 3

$- 3$ mit

2

$2$ .

f (- 3) = \sqrt{(9 + 9) (- 3 + 3) (- 3 - 3)}

$f (- 3) = \sqrt{(9 + 9) (- 3 + 3) (- 3 - 3)}$

Schritt 1.2.2

Addiere

9

$9$ und

9

$9$ .

f (- 3) = \sqrt{18 (- 3 + 3) (- 3 - 3)}

$f (- 3) = \sqrt{18 (- 3 + 3) (- 3 - 3)}$

Schritt 1.2.3

Addiere

- 3

$- 3$ und

3

$3$ .

f (- 3) = \sqrt{18 \cdot (0 (- 3 - 3))}

$f (- 3) = \sqrt{18 \cdot (0 (- 3 - 3))}$

Schritt 1.2.4

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Mutltipliziere

18

$18$ mit

0

$0$ .

f (- 3) = \sqrt{0 (- 3 - 3)}

$f (- 3) = \sqrt{0 (- 3 - 3)}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 3 - 3

$- 3 - 3$ .

f (- 3) = \sqrt{0}

$f (- 3) = \sqrt{0}$

f (- 3) = \sqrt{0}

$f (- 3) = \sqrt{0}$

Schritt 1.2.5

Schreibe

0

$0$ als

0^{2}

$0^{2}$ um.

f (- 3) = \sqrt{0^{2}}

$f (- 3) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

f (- 3) = 0

$f (- 3) = 0$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung ist

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Schritt 1.3

Der

y

$y$ -Wert bei

x = - 3

$x = - 3$ ist

0

$0$ .

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

Schritt 2

Ermittle den

y

$y$ -Wert bei

x = - 4

$x = - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

- 4

$- 4$ .

f (- 4) = \sqrt{({(- 4)}^{2} + 9) ((- 4) + 3) ((- 4) - 3)}

$f (- 4) = \sqrt{({(- 4)}^{2} + 9) ((- 4) + 3) ((- 4) - 3)}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Potenziere

- 4

$- 4$ mit

2

$2$ .

f (- 4) = \sqrt{(16 + 9) (- 4 + 3) (- 4 - 3)}

$f (- 4) = \sqrt{(16 + 9) (- 4 + 3) (- 4 - 3)}$

Schritt 2.2.2

Addiere

16

$16$ und

9

$9$ .

f (- 4) = \sqrt{25 (- 4 + 3) (- 4 - 3)}

$f (- 4) = \sqrt{25 (- 4 + 3) (- 4 - 3)}$

Schritt 2.2.3

Addiere

- 4

$- 4$ und

3

$3$ .

f (- 4) = \sqrt{25 \cdot (- 1 (- 4 - 3))}

$f (- 4) = \sqrt{25 \cdot (- 1 (- 4 - 3))}$

Schritt 2.2.4

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

f (- 4) = \sqrt{- (25 (- 4 - 3))}

$f (- 4) = \sqrt{- (25 (- 4 - 3))}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere

25

$25$ mit

- 1

$- 1$ .

f (- 4) = \sqrt{- 25 (- 4 - 3)}

$f (- 4) = \sqrt{- 25 (- 4 - 3)}$

f (- 4) = \sqrt{- 25 (- 4 - 3)}

$f (- 4) = \sqrt{- 25 (- 4 - 3)}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere

3

$3$ von

- 4

$- 4$ .

f (- 4) = \sqrt{- 25 \cdot - 7}

$f (- 4) = \sqrt{- 25 \cdot - 7}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere

- 25

$- 25$ mit

- 7

$- 7$ .

f (- 4) = \sqrt{175}

$f (- 4) = \sqrt{175}$

Schritt 2.2.7

Schreibe

175

$175$ als

5^{2} \cdot 7

$5^{2} \cdot 7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.1

Faktorisiere

25

$25$ aus

175

$175$ heraus.

f (- 4) = \sqrt{25 (7)}

$f (- 4) = \sqrt{25 (7)}$

Schritt 2.2.7.2

Schreibe

25

$25$ als

5^{2}

$5^{2}$ um.

f (- 4) = \sqrt{5^{2} \cdot 7}

$f (- 4) = \sqrt{5^{2} \cdot 7}$

f (- 4) = \sqrt{5^{2} \cdot 7}

$f (- 4) = \sqrt{5^{2} \cdot 7}$

Schritt 2.2.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

f (- 4) = 5 \sqrt{7}

$f (- 4) = 5 \sqrt{7}$

Schritt 2.2.9

Die endgültige Lösung ist

5 \sqrt{7}

$5 \sqrt{7}$ .

5 \sqrt{7}

$5 \sqrt{7}$

5 \sqrt{7}

$5 \sqrt{7}$

Schritt 2.3

Der

y

$y$ -Wert bei

x = - 4

$x = - 4$ ist

5 \sqrt{7}

$5 \sqrt{7}$ .

y = 5 \sqrt{7}

$y = 5 \sqrt{7}$

y = 5 \sqrt{7}

$y = 5 \sqrt{7}$

Schritt 3

Ermittle den

y

$y$ -Wert bei

x = - 5

$x = - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

- 5

$- 5$ .

f (- 5) = \sqrt{({(- 5)}^{2} + 9) ((- 5) + 3) ((- 5) - 3)}

$f (- 5) = \sqrt{({(- 5)}^{2} + 9) ((- 5) + 3) ((- 5) - 3)}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Potenziere

- 5

$- 5$ mit

2

$2$ .

f (- 5) = \sqrt{(25 + 9) (- 5 + 3) (- 5 - 3)}

$f (- 5) = \sqrt{(25 + 9) (- 5 + 3) (- 5 - 3)}$

Schritt 3.2.2

Addiere

25

$25$ und

9

$9$ .

f (- 5) = \sqrt{34 (- 5 + 3) (- 5 - 3)}

$f (- 5) = \sqrt{34 (- 5 + 3) (- 5 - 3)}$

Schritt 3.2.3

Addiere

- 5

$- 5$ und

3

$3$ .

f (- 5) = \sqrt{34 \cdot (- 2 (- 5 - 3))}

$f (- 5) = \sqrt{34 \cdot (- 2 (- 5 - 3))}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere

34

$34$ mit

- 2

$- 2$ .

f (- 5) = \sqrt{- 68 (- 5 - 3)}

$f (- 5) = \sqrt{- 68 (- 5 - 3)}$

Schritt 3.2.5

Subtrahiere

3

$3$ von

- 5

$- 5$ .

f (- 5) = \sqrt{- 68 \cdot - 8}

$f (- 5) = \sqrt{- 68 \cdot - 8}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere

- 68

$- 68$ mit

- 8

$- 8$ .

f (- 5) = \sqrt{544}

$f (- 5) = \sqrt{544}$

Schritt 3.2.7

Schreibe

544

$544$ als

4^{2} \cdot 34

$4^{2} \cdot 34$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.7.1

Faktorisiere

16

$16$ aus

544

$544$ heraus.

f (- 5) = \sqrt{16 (34)}

$f (- 5) = \sqrt{16 (34)}$

Schritt 3.2.7.2

Schreibe

16

$16$ als

4^{2}

$4^{2}$ um.

f (- 5) = \sqrt{4^{2} \cdot 34}

$f (- 5) = \sqrt{4^{2} \cdot 34}$

f (- 5) = \sqrt{4^{2} \cdot 34}

$f (- 5) = \sqrt{4^{2} \cdot 34}$

Schritt 3.2.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

f (- 5) = 4 \sqrt{34}

$f (- 5) = 4 \sqrt{34}$

Schritt 3.2.9

Die endgültige Lösung ist

4 \sqrt{34}

$4 \sqrt{34}$ .

4 \sqrt{34}

$4 \sqrt{34}$

4 \sqrt{34}

$4 \sqrt{34}$

Schritt 3.3

Der

y

$y$ -Wert bei

x = - 5

$x = - 5$ ist

4 \sqrt{34}

$4 \sqrt{34}$ .

y = 4 \sqrt{34}

$y = 4 \sqrt{34}$

y = 4 \sqrt{34}

$y = 4 \sqrt{34}$

Schritt 4

Ermittle den

y

$y$ -Wert bei

x = 3

$x = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

3

$3$ .

f (3) = \sqrt{({(3)}^{2} + 9) ((3) + 3) ((3) - 3)}

$f (3) = \sqrt{({(3)}^{2} + 9) ((3) + 3) ((3) - 3)}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

f (3) = \sqrt{(9 + 9) (3 + 3) (3 - 3)}

$f (3) = \sqrt{(9 + 9) (3 + 3) (3 - 3)}$

Schritt 4.2.2

Addiere

9

$9$ und

9

$9$ .

f (3) = \sqrt{18 (3 + 3) (3 - 3)}

$f (3) = \sqrt{18 (3 + 3) (3 - 3)}$

Schritt 4.2.3

Addiere

3

$3$ und

3

$3$ .

f (3) = \sqrt{18 \cdot (6 (3 - 3))}

$f (3) = \sqrt{18 \cdot (6 (3 - 3))}$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere

18

$18$ mit

6

$6$ .

f (3) = \sqrt{108 (3 - 3)}

$f (3) = \sqrt{108 (3 - 3)}$

Schritt 4.2.5

Subtrahiere

3

$3$ von

3

$3$ .

f (3) = \sqrt{108 \cdot 0}

$f (3) = \sqrt{108 \cdot 0}$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere

108

$108$ mit

0

$0$ .

f (3) = \sqrt{0}

$f (3) = \sqrt{0}$

Schritt 4.2.7

Schreibe

0

$0$ als

0^{2}

$0^{2}$ um.

f (3) = \sqrt{0^{2}}

$f (3) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

f (3) = 0

$f (3) = 0$

Schritt 4.2.9

Die endgültige Lösung ist

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Schritt 4.3

Der

y

$y$ -Wert bei

x = 3

$x = 3$ ist

0

$0$ .

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

Schritt 5

Ermittle den

y

$y$ -Wert bei

x = 4

$x = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

4

$4$ .

f (4) = \sqrt{({(4)}^{2} + 9) ((4) + 3) ((4) - 3)}

$f (4) = \sqrt{({(4)}^{2} + 9) ((4) + 3) ((4) - 3)}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Potenziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

f (4) = \sqrt{(16 + 9) (4 + 3) (4 - 3)}

$f (4) = \sqrt{(16 + 9) (4 + 3) (4 - 3)}$

Schritt 5.2.2

Addiere

16

$16$ und

9

$9$ .

f (4) = \sqrt{25 (4 + 3) (4 - 3)}

$f (4) = \sqrt{25 (4 + 3) (4 - 3)}$

Schritt 5.2.3

Addiere

4

$4$ und

3

$3$ .

f (4) = \sqrt{25 \cdot (7 (4 - 3))}

$f (4) = \sqrt{25 \cdot (7 (4 - 3))}$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere

25

$25$ mit

7

$7$ .

f (4) = \sqrt{175 (4 - 3)}

$f (4) = \sqrt{175 (4 - 3)}$

Schritt 5.2.5

Subtrahiere

3

$3$ von

4

$4$ .

f (4) = \sqrt{175 \cdot 1}

$f (4) = \sqrt{175 \cdot 1}$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere

175

$175$ mit

1

$1$ .

f (4) = \sqrt{175}

$f (4) = \sqrt{175}$

Schritt 5.2.7

Schreibe

175

$175$ als

5^{2} \cdot 7

$5^{2} \cdot 7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere

25

$25$ aus

175

$175$ heraus.

f (4) = \sqrt{25 (7)}

$f (4) = \sqrt{25 (7)}$

Schritt 5.2.7.2

Schreibe

25

$25$ als

5^{2}

$5^{2}$ um.

f (4) = \sqrt{5^{2} \cdot 7}

$f (4) = \sqrt{5^{2} \cdot 7}$

f (4) = \sqrt{5^{2} \cdot 7}

$f (4) = \sqrt{5^{2} \cdot 7}$

Schritt 5.2.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

f (4) = 5 \sqrt{7}

$f (4) = 5 \sqrt{7}$

Schritt 5.2.9

Die endgültige Lösung ist

5 \sqrt{7}

$5 \sqrt{7}$ .

5 \sqrt{7}

$5 \sqrt{7}$

5 \sqrt{7}

$5 \sqrt{7}$

Schritt 5.3

Der

y

$y$ -Wert bei

x = 4

$x = 4$ ist

5 \sqrt{7}

$5 \sqrt{7}$ .

y = 5 \sqrt{7}

$y = 5 \sqrt{7}$

y = 5 \sqrt{7}

$y = 5 \sqrt{7}$

Schritt 6

Ermittle den

y

$y$ -Wert bei

x = 5

$x = 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

5

$5$ .

f (5) = \sqrt{({(5)}^{2} + 9) ((5) + 3) ((5) - 3)}

$f (5) = \sqrt{({(5)}^{2} + 9) ((5) + 3) ((5) - 3)}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Potenziere

5

$5$ mit

2

$2$ .

f (5) = \sqrt{(25 + 9) (5 + 3) (5 - 3)}

$f (5) = \sqrt{(25 + 9) (5 + 3) (5 - 3)}$

Schritt 6.2.2

Addiere

25

$25$ und

9

$9$ .

f (5) = \sqrt{34 (5 + 3) (5 - 3)}

$f (5) = \sqrt{34 (5 + 3) (5 - 3)}$

Schritt 6.2.3

Addiere

5

$5$ und

3

$3$ .

f (5) = \sqrt{34 \cdot (8 (5 - 3))}

$f (5) = \sqrt{34 \cdot (8 (5 - 3))}$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere

34

$34$ mit

8

$8$ .

f (5) = \sqrt{272 (5 - 3)}

$f (5) = \sqrt{272 (5 - 3)}$

Schritt 6.2.5

Subtrahiere

3

$3$ von

5

$5$ .

f (5) = \sqrt{272 \cdot 2}

$f (5) = \sqrt{272 \cdot 2}$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere

272

$272$ mit

2

$2$ .

f (5) = \sqrt{544}

$f (5) = \sqrt{544}$

Schritt 6.2.7

Schreibe

544

$544$ als

4^{2} \cdot 34

$4^{2} \cdot 34$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.7.1

Faktorisiere

16

$16$ aus

544

$544$ heraus.

f (5) = \sqrt{16 (34)}

$f (5) = \sqrt{16 (34)}$

Schritt 6.2.7.2

Schreibe

16

$16$ als

4^{2}

$4^{2}$ um.

f (5) = \sqrt{4^{2} \cdot 34}

$f (5) = \sqrt{4^{2} \cdot 34}$

f (5) = \sqrt{4^{2} \cdot 34}

$f (5) = \sqrt{4^{2} \cdot 34}$

Schritt 6.2.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

f (5) = 4 \sqrt{34}

$f (5) = 4 \sqrt{34}$

Schritt 6.2.9

Die endgültige Lösung ist

4 \sqrt{34}

$4 \sqrt{34}$ .

4 \sqrt{34}

$4 \sqrt{34}$

4 \sqrt{34}

$4 \sqrt{34}$

Schritt 6.3

Der

y

$y$ -Wert bei

x = 5

$x = 5$ ist

4 \sqrt{34}

$4 \sqrt{34}$ .

y = 4 \sqrt{34}

$y = 4 \sqrt{34}$

y = 4 \sqrt{34}

$y = 4 \sqrt{34}$

Schritt 7

Erfasse die graphisch darzustellenden Punkte in einer Liste.

(- 3, 0), (- 4, 13.22875655), (- 5, 23.32380757), (3, 0), (4, 13.22875655), (5, 23.32380757)

$(- 3, 0), (- 4, 13.22875655), (- 5, 23.32380757), (3, 0), (4, 13.22875655), (5, 23.32380757)$

Schritt 8

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 23.324 \\ - 4 & 13.229 \\ - 3 & 0 \\ 3 & 0 \\ 4 & 13.229 \\ 5 & 23.324 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 23.324 \\ - 4 & 13.229 \\ - 3 & 0 \\ 3 & 0 \\ 4 & 13.229 \\ 5 & 23.324 \end{array}$

Schritt 9