Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = | x | + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Betragsfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 2

Für jeden $x$ Wert, es gibt einen $y$ Wert. Wählen Sie einige aus $x$ Werte aus der Domäne. Es wäre sinnvoller, die Werte so zu wählen, dass sie in der Nähe des $x$ Wert des Absolutwert-Scheitelpunkts.

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Schritt 2.1

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, \frac{3}{2})$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = | - 2 | + \frac{1}{- 2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 2$ und $0$ ist $2$ .

$f (- 2) = 2 + \frac{1}{- 2}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 1}{2}$

Schritt 2.1.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f (- 2) = \frac{3}{2}$

Schritt 2.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 0)$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = | - 1 | + \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (- 1) = 0$

Schritt 2.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 2)$ .

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Schritt 2.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = | 1 | + \frac{1}{1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{1}{1}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f (1) = 1 + 1$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1) = 2$

Schritt 2.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 2.4

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, \frac{5}{2})$ .

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Schritt 2.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = | 2 | + \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.4.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$f (2) = 2 + \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2}$

Schritt 2.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{4 + 1}{2}$

Schritt 2.4.2.5.2

Addiere $4$ und $1$ .

$f (2) = \frac{5}{2}$

Schritt 2.4.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Schritt 2.5

Der Absolutwert kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(- 2, 1.5), (- 1, 0), (1, 2), (2, 2.5)$ graphisch dargestellt werden.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1.5 \\ - 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 2.5 \end{array}$

Schritt 3