Algebravorstufe Beispiele

$9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y + 9 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 x^{2} - 18 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 9}{9}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $9$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $324$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$e = 0 - 9$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$e = - 9$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ ein.

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Schritt 1.3

Setze $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ für $9 x^{2} - 18 x$ ein in der Gleichung $9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 + 5 y^{2} + 30 y = - 9$

Schritt 1.4

Bringe $- 9$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $9$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 y^{2} + 30 y = - 9 + 9$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $5 y^{2} + 30 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 5$

$b = 30$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{30}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 5$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 (5)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{15}{5}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $5$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 (1)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$d = 3$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{30^{2}}{4 \cdot 5}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $30$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{900}{4 \cdot 5}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$e = 0 - \frac{900}{20}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $900$ durch $20$ .

$e = 0 - 1 \cdot 45$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $45$ .

$e = 0 - 45$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $45$ von $0$ .

$e = - 45$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $5 {(y + 3)}^{2} - 45$ ein.

$5 {(y + 3)}^{2} - 45$

Schritt 1.6

Setze $5 {(y + 3)}^{2} - 45$ für $5 y^{2} + 30 y$ ein in der Gleichung $9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} - 45 = - 9 + 9$

Schritt 1.7

Bringe $- 45$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $45$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = - 9 + 9 + 45$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 9 + 9 + 45$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = 0 + 45$

Schritt 1.8.2

Addiere $0$ und $45$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = 45$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $45$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{45} + \frac{5 {(y + 3)}^{2}}{45} = \frac{45}{45}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{5} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 3$

$b = \sqrt{5}$

$k = - 3$

$h = 1$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(1, - 3)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{9 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{9 - 5^{1}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{9 - 1 \cdot 5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\sqrt{9 - 5}$

Schritt 5.3.3.2

Subtrahiere $5$ von $9$ .

$\sqrt{4}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2}}$

Schritt 5.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(1, - 3 + 3)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(1, 0)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(1, - 3 - (3))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(1, - 6)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(1, - 3 + 2)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(1, - 1)$

Schritt 7.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(1, - 3 - (2))$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(1, - 5)$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - {\sqrt{5}}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 8.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{9 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Schritt 8.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Schritt 8.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{9 - 5^{1}}}{3}$

Schritt 8.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 5}}{3}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{9 - 5}}{3}$

Schritt 8.3.4

Subtrahiere $5$ von $9$ .

$\frac{\sqrt{4}}{3}$

Schritt 8.3.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{3}$

Schritt 8.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2}{3}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(1, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

Exzentrizität: $\frac{2}{3}$

Schritt 10