Algebravorstufe Beispiele

Stelle graphisch dar 9x^2+5y^2-18x+30y+9=0
Schritt 1
Bestimme die Standardform der Ellipse.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2
Wende die quadratische Ergänzung auf an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Wende die Form an, um die Werte für , und zu ermitteln.
Schritt 1.2.2
Betrachte die Scheitelform einer Parabel.
Schritt 1.2.3
Ermittle den Wert von mithilfe der Formel .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.1
Setze die Werte von und in die Formel ein.
Schritt 1.2.3.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.2.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.2.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.2.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.2.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.3.2.2.2.4
Dividiere durch .
Schritt 1.2.4
Ermittle den Wert von mithilfe der Formel .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.1
Setze die Werte von , , und in die Formel ein.
Schritt 1.2.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.2.4.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.4.2.1.3
Dividiere durch .
Schritt 1.2.4.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.4.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.5
Setze die Werte von , und in die Scheitelform ein.
Schritt 1.3
Setze für ein in der Gleichung .
Schritt 1.4
Bringe auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von auf beiden Seiten.
Schritt 1.5
Wende die quadratische Ergänzung auf an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.1
Wende die Form an, um die Werte für , und zu ermitteln.
Schritt 1.5.2
Betrachte die Scheitelform einer Parabel.
Schritt 1.5.3
Ermittle den Wert von mithilfe der Formel .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.3.1
Setze die Werte von und in die Formel ein.
Schritt 1.5.3.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.3.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.3.2.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.3.2.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.3.2.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.3.2.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.5.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.3.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.3.2.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.3.2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.5.3.2.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.5.3.2.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.5.3.2.2.2.4
Dividiere durch .
Schritt 1.5.4
Ermittle den Wert von mithilfe der Formel .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.4.1
Setze die Werte von , , und in die Formel ein.
Schritt 1.5.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.4.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.3
Dividiere durch .
Schritt 1.5.4.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.5
Setze die Werte von , und in die Scheitelform ein.
Schritt 1.6
Setze für ein in der Gleichung .
Schritt 1.7
Bringe auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von auf beiden Seiten.
Schritt 1.8
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.8.1
Addiere und .
Schritt 1.8.2
Addiere und .
Schritt 1.9
Teile jeden Term durch , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.
Schritt 1.10
Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich ist.
Schritt 2
Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.
Schritt 3
Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, den Radius der Nebenachse der Ellipse, das x-Offset vom Ursprung und das y-Offset vom Ursprung.
Schritt 4
Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form . Setze die Werte von und ein.
Schritt 5
Berechne , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.
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Schritt 5.1
Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.
Schritt 5.2
Ersetze die Werte von und in der Formel.
Schritt 5.3
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.1
Potenziere mit .
Schritt 5.3.2
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 5.3.2.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 5.3.2.3
Kombiniere und .
Schritt 5.3.2.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.2.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.3.2.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 5.3.3
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 5.3.3.3
Schreibe als um.
Schritt 5.3.4
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 6
Finde die Scheitelpunkte.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von zu ermittelt werden.
Schritt 6.2
Setze die bekannten Werte von , und in die Formel ein.
Schritt 6.3
Vereinfache.
Schritt 6.4
The second vertex of an ellipse can be found by subtracting from .
Schritt 6.5
Setze die bekannten Werte von , und in die Formel ein.
Schritt 6.6
Vereinfache.
Schritt 6.7
Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.
:
:
:
:
Schritt 7
Ermittle die Brennpunkte.
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Schritt 7.1
Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von zu gefunden werden.
Schritt 7.2
Setze die bekannten Werte von , und in die Formel ein.
Schritt 7.3
Vereinfache.
Schritt 7.4
Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von von gefunden werden.
Schritt 7.5
Setze die bekannten Werte von , und in die Formel ein.
Schritt 7.6
Vereinfache.
Schritt 7.7
Ellipsen haben zwei Brennpunkte.
:
:
:
:
Schritt 8
Ermittle die Exzentrizität.
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Schritt 8.1
Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.
Schritt 8.2
Setze die Werte von und in die Formel ein.
Schritt 8.3
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.3.1
Potenziere mit .
Schritt 8.3.2
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 8.3.2.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 8.3.2.3
Kombiniere und .
Schritt 8.3.2.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.3.2.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 8.3.2.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 8.3.2.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 8.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3.4
Subtrahiere von .
Schritt 8.3.5
Schreibe als um.
Schritt 8.3.6
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 9
Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.
Mittelpunkt:
:
:
:
:
Exzentrizität:
Schritt 10