Algebravorstufe Beispiele

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x - 8 y - 59 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Addiere $59$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x - 8 y = 59$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 x^{2} - 54 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 54$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 27}{9}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 27$ und $9$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 27$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$d = - 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 54$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $2916$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$e = 0 - 81$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $81$ von $0$ .

$e = - 81$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ ein.

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

Schritt 1.3

Setze $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ für $9 x^{2} - 54 x$ ein in der Gleichung $9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x - 8 y = 59$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81 + 4 y^{2} - 8 y = 59$

Schritt 1.4

Bringe $- 81$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $81$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 y^{2} - 8 y = 59 + 81$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 y^{2} - 8 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ ein.

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Schritt 1.6

Setze $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ für $4 y^{2} - 8 y$ ein in der Gleichung $9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x - 8 y = 59$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} - 4 = 59 + 81$

Schritt 1.7

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 59 + 81 + 4$

Schritt 1.8

Vereinfache $59 + 81 + 4$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $59$ und $81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 140 + 4$

Schritt 1.8.2

Addiere $140$ und $4$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 144$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $144$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} + \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{36} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 6$

$b = 4$

$k = 1$

$h = 3$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(3, 1)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{36 - {(4)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 16}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\sqrt{36 - 16}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $16$ von $36$ .

$\sqrt{20}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\sqrt{4 (5)}$

Schritt 5.3.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{5}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(3, 1 + 6)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(3, 7)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(3, 1 - (6))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(3, - 5)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(3, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 5)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 5)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(3, 1 + 2 \sqrt{5})$

Schritt 7.3

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(3, 1 - (2 \sqrt{5}))$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$(3, 1 - 2 \sqrt{5})$

Schritt 7.6

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(3, 1 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(3, 1 - 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(3, 1 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(3, 1 - 2 \sqrt{5})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}}{6}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 4^{2}}}{6}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 16}}{6}$

Schritt 8.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{\sqrt{36 - 16}}{6}$

Schritt 8.3.1.4

Subtrahiere $16$ von $36$ .

$\frac{\sqrt{20}}{6}$

Schritt 8.3.1.5

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 8.3.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{6}$

Schritt 8.3.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{6}$

Schritt 8.3.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{5}}{6}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{5})}{6}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(3, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 1 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(3, 1 - 2 \sqrt{5})$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 10