Algebravorstufe Beispiele

$9 x^{2} + y^{2} - 36 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Addiere $36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} + y^{2} = 36$

Schritt 1.2

Teile jeden Term durch $36$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{9 x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 6$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{36 - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 4}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\sqrt{36 - 4}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $4$ von $36$ .

$\sqrt{32}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$\sqrt{16 (2)}$

Schritt 5.3.5.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$4 \sqrt{2}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + 6)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(0, 6)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (6))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(0, - 6)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + 4 \sqrt{2})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(0, 4 \sqrt{2})$

Schritt 7.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (4 \sqrt{2}))$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(0, - 4 \sqrt{2})$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{2})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(2)}^{2}}}{6}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 2^{2}}}{6}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 4}}{6}$

Schritt 8.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{36 - 4}}{6}$

Schritt 8.3.1.4

Subtrahiere $4$ von $36$ .

$\frac{\sqrt{32}}{6}$

Schritt 8.3.1.5

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.3.1.5.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$\frac{\sqrt{16 (2)}}{6}$

Schritt 8.3.1.5.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{6}$

Schritt 8.3.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \sqrt{2}}{6}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{6}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (3)}$

Schritt 8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{2})$

Exzentrizität: $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 10