Algebravorstufe Beispiele

$- 9 z (z - 4) > 4 z - 3$

Schritt 1

Vereinfache $- 9 z (z - 4)$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$0 + 0 - 9 z (z - 4) > 4 z - 3$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- 9 z (z - 4) > 4 z - 3$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 z \cdot z - 9 z \cdot - 4 > 4 z - 3$

Schritt 1.4

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1

Bewege $z$ .

$- 9 (z \cdot z) - 9 z \cdot - 4 > 4 z - 3$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$- 9 z^{2} - 9 z \cdot - 4 > 4 z - 3$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$- 9 z^{2} + 36 z > 4 z - 3$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $z$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $4 z$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 9 z^{2} + 36 z - 4 z > - 3$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4 z$ von $36 z$ .

$- 9 z^{2} + 32 z > - 3$

Schritt 3

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- 9 z^{2} + 32 z + 3 > 0$

Schritt 4

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 9 z^{2} + 32 z + 3 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = - 9$ , $b = 32$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 3)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $32$ mit $2$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 9 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 9 \cdot 3$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 36 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $36$ mit $3$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 108}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 7.1.3

Addiere $1024$ und $108$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1132}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $1132$ als $2^{2} \cdot 283$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $1132$ heraus.

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (283)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 283}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$ .

$z = \frac{16 \pm \sqrt{283}}{9}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $32$ mit $2$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 9 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 9 \cdot 3$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 36 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $36$ mit $3$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 108}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 8.1.3

Addiere $1024$ und $108$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1132}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $1132$ als $2^{2} \cdot 283$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $1132$ heraus.

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (283)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 283}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$ .

$z = \frac{16 \pm \sqrt{283}}{9}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$z = \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $32$ mit $2$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 9 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 9 \cdot 3$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 36 \cdot 3}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $36$ mit $3$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 108}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 9.1.3

Addiere $1024$ und $108$ .

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{1132}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $1132$ als $2^{2} \cdot 283$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $1132$ heraus.

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (283)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$z = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 283}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$z = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{283}}{- 18}$ .

$z = \frac{16 \pm \sqrt{283}}{9}$

Schritt 9.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$z = \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

$z = \frac{16 + \sqrt{283}}{9}, \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

$z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$z = - 3$

Schritt 12.1.2

Ersetze $z$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 9 \cdot - 3 ((- 3) - 4) > 4 (- 3) - 3$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $- 189$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 15$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$z = 0$

Schritt 12.2.2

Ersetze $z$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 9 \cdot 0 ((0) - 4) > 4 (0) - 3$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $0$ ist größer als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$z = 6$

Schritt 12.3.2

Ersetze $z$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 9 \cdot 6 ((6) - 4) > 4 (6) - 3$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 108$ ist nicht größer als die rechte Seite $21$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ Falsch

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Wahr

$z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Falsch

$z < \frac{16 - \sqrt{283}}{9}$ Falsch

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Wahr

$z > \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{16 - \sqrt{283}}{9} < z < \frac{16 + \sqrt{283}}{9}$

Schritt 14