Algebravorstufe Beispiele

$f (x) < \frac{525}{x} + 3$

Schritt 1

Subtrahiere $f (x)$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$0 < \frac{525}{x} + 3 - f (x)$

Schritt 2

Ermittle Steigung und Schnittpunkt mit der y-Achse für die Grenzlinie.

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Schritt 2.1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 2.1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 2.1.2

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$\frac{525}{x} + 3 - f (x) > 0$

Schritt 2.1.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{525}{x} - f (x) > - 3$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $f (x)$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{525}{x} > - 3 + f (x)$

Schritt 2.1.4

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{525}{x} x = (- 3 + f (x)) x$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{525}{x} x = (- 3 + f (x)) x$

Schritt 2.1.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$525 = (- 3 + f (x)) x$

Schritt 2.1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.5.2.1

Vereinfache $(- 3 + f (x)) x$ .

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Schritt 2.1.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$525 = - 3 x + f (x) x$

Schritt 2.1.5.2.1.2

Stelle die Faktoren in $- 3 x + f (x) x$ um.

$525 = - 3 x + x f (x)$

Schritt 2.1.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.6.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 x + x f (x) = 525$ um.

$- 3 x + x f (x) = 525$

Schritt 2.1.6.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.6.2.1

Bewege $x$ .

$- 3 x + x \cdot x f = 525$

Schritt 2.1.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 3 x + x^{2} f = 525$

Schritt 2.1.6.3

Subtrahiere $525$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x + x^{2} f - 525 = 0$

Schritt 2.1.6.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.1.6.5

Setze die Werte $a = f$ , $b = - 3$ und $c = - 525$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (f \cdot - 525)}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.6.6.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot f \cdot - 525}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.6.2

Mutltipliziere $- 525$ mit $- 4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 2100 f}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.6.3

Faktorisiere $3$ aus $9 + 2100 f$ heraus.

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Schritt 2.1.6.6.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 2100 f}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.6.3.2

Faktorisiere $3$ aus $2100 f$ heraus.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (700 f)}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.6.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (3) + 3 (700 f)$ heraus.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 700 f)}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.7

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 700 f)}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.1.6.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.6.8.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot f \cdot - 525}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.8.1.2

Mutltipliziere $- 525$ mit $- 4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 2100 f}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.8.1.3

Faktorisiere $3$ aus $9 + 2100 f$ heraus.

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Schritt 2.1.6.8.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 2100 f}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.8.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $2100 f$ heraus.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (700 f)}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.8.1.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (3) + 3 (700 f)$ heraus.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 700 f)}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.8.2

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 700 f)}}{2 f}$

Schritt 2.1.6.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 700 f)}}{2 f}$

$x = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 700 f)}}{2 f}$

$x = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 700 f)}}{2 f}$

$x = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 700 f)}}{2 f}$

Schritt 2.1.7

Forme zur Normalform um.

$= \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 700)}}{2}$

$= f + \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 700 f)}}{2 f}$

$= \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 700)}}{2}$

$= f + \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 700 f)}}{2 f}$

Schritt 2.2

Since the equation is a vertical line, it does not cross the y-axis.

Kein Schnittpunkt mit der y-Achse

Schritt 2.3

Since the equation is a vertical line, the slope is infinite.

$m = \infty$

Schritt 3

Zeichne eine gestrichelte Linie und schraffiere dann die Fläche unterhalb der Grenzlinie, da $y$ kleiner als $\frac{525}{x} + 3 - f (x)$ ist.

$0 < \frac{525}{x} + 3 - f (x)$

Schritt 4