Algebravorstufe Beispiele

f (x) = ∣ ∣ ∣ \frac{x - 2}{x + 2} ∣ ∣ ∣

$f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$

Schritt 1

Bestimme den Scheitelpunkt des Absolutwerts. In diesem Fall ist der Scheitelpunkt für

y = ∣ ∣ ∣ \frac{x - 2}{x + 2} ∣ ∣ ∣

$y = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ gleich

(2, 0)

$(2, 0)$ .

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Schritt 1.1

Setze das Innere des Absolutwertes

\frac{x - 2}{x + 2}

$\frac{x - 2}{x + 2}$ gleich

0

$0$ , um die

x

$x$ -Koordinate des Scheitelpunktes zu bestimmen. In diesem Fall:

\frac{x - 2}{x + 2} = 0

$\frac{x - 2}{x + 2} = 0$ .

\frac{x - 2}{x + 2} = 0

$\frac{x - 2}{x + 2} = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung

\frac{x - 2}{x + 2} = 0

$\frac{x - 2}{x + 2} = 0$ , um die

x

$x$ -Koordinate der Absolutwert-Spitze zu ermitteln.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere

2

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Schritt 1.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

2

$2$ .

y = ∣ ∣ ∣ \frac{(2) - 2}{(2) + 2} ∣ ∣ ∣

$y = | \frac{(2) - 2}{(2) + 2} |$

Schritt 1.4

Vereinfache

∣ ∣ ∣ \frac{(2) - 2}{(2) + 2} ∣ ∣ ∣

$| \frac{(2) - 2}{(2) + 2} |$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

(2) - 2

$(2) - 2$ und

(2) + 2

$(2) + 2$ .

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2

$2$ heraus.

y = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot 1 - 2}{2 + 2} ∣ ∣ ∣

$y = | \frac{2 \cdot 1 - 2}{2 + 2} |$

Schritt 1.4.1.2

Faktorisiere

2

$2$ aus

- 2

$- 2$ heraus.

y = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}{(2) + 2} ∣ ∣ ∣

$y = | \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}{(2) + 2} |$

Schritt 1.4.1.3

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1

$2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1$ heraus.

y = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (1 - 1)}{(2) + 2} ∣ ∣ ∣

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{(2) + 2} |$

Schritt 1.4.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.4.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2

$2$ heraus.

y = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2} ∣ ∣ ∣

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2} |$

Schritt 1.4.1.4.2

Faktorisiere

2

$2$ aus

2

$2$ heraus.

y = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2 (1)} ∣ ∣ ∣

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2 (1)} |$

Schritt 1.4.1.4.3

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \cdot 1 + 2 (1)

$2 \cdot 1 + 2 (1)$ heraus.

y = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} ∣ ∣ ∣

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} |$

Schritt 1.4.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

y = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} ∣ ∣ ∣

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} |$

Schritt 1.4.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

y = ∣ ∣ ∣ \frac{1 - 1}{1 + 1} ∣ ∣ ∣

$y = | \frac{1 - 1}{1 + 1} |$

y = ∣ ∣ ∣ \frac{1 - 1}{1 + 1} ∣ ∣ ∣

$y = | \frac{1 - 1}{1 + 1} |$

y = ∣ ∣ ∣ \frac{1 - 1}{1 + 1} ∣ ∣ ∣

$y = | \frac{1 - 1}{1 + 1} |$

Schritt 1.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.2.1

Subtrahiere

1

$1$ von

1

$1$ .

y = ∣ ∣ ∣ \frac{0}{1 + 1} ∣ ∣ ∣

$y = | \frac{0}{1 + 1} |$

Schritt 1.4.2.2

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

y = ∣ ∣ ∣ \frac{0}{2} ∣ ∣ ∣

$y = | \frac{0}{2} |$

Schritt 1.4.2.3

Dividiere

0

$0$ durch

2

$2$ .

y = | 0 |

$y = | 0 |$

y = | 0 |

$y = | 0 |$

Schritt 1.4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

0

$0$ ist

0

$0$ .

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

Schritt 1.5

Die Absolutwert-Spitze ist

(2, 0)

$(2, 0)$ .

(2, 0)

$(2, 0)$

(2, 0)

$(2, 0)$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von

f (x) = ∣ ∣ ∣ \frac{x - 2}{x + 2} ∣ ∣ ∣

$f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ , sodass eine Liste von

x

$x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Betragsfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in

\frac{x - 2}{x + 2}

$\frac{x - 2}{x + 2}$ gleich

0

$0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere

2

$2$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = - 2

$x = - 2$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von

x

$x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

{x | x \neq - 2}

${x | x \neq - 2}$

Intervallschreibweise:

(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

{x | x \neq - 2}

${x | x \neq - 2}$

Schritt 3

Für jeden

x

$x$ Wert, es gibt einen

y

$y$ Wert. Wählen Sie einige aus

x

$x$ Werte aus der Domäne. Es wäre sinnvoller, die Werte so zu wählen, dass sie in der Nähe des

x

$x$ Wert des Absolutwert-Scheitelpunkts.

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Schritt 3.1

Setze den

x

$x$ -Wert

0

$0$ in

f (x) = ∣ ∣ ∣ \frac{x - 2}{x + 2} ∣ ∣ ∣

$f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ ein. In diesem Fall ist der Punkt

(0, 1)

$(0, 1)$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

0

$0$ .

f (0) = ∣ ∣ ∣ \frac{(0) - 2}{(0) + 2} ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{(0) - 2}{(0) + 2} |$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

(0) - 2

$(0) - 2$ und

(0) + 2

$(0) + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

0

$0$ heraus.

f (0) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 (0) - 2}{(0) + 2} ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{2 (0) - 2}{(0) + 2} |$

Schritt 3.1.2.1.2

Faktorisiere

2

$2$ aus

- 2

$- 2$ heraus.

f (0) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}{(0) + 2} ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}{(0) + 2} |$

Schritt 3.1.2.1.3

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1

$2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ heraus.

f (0) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (0 - 1)}{(0) + 2} ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{(0) + 2} |$

Schritt 3.1.2.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.4.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

0

$0$ heraus.

f (0) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 (0) + 2} ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 (0) + 2} |$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Faktorisiere

2

$2$ aus

2

$2$ heraus.

f (0) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1} ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1} |$

Schritt 3.1.2.1.4.3

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \cdot 0 + 2 \cdot 1

$2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ heraus.

f (0) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} |$

Schritt 3.1.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

f (0) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} |$

Schritt 3.1.2.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

f (0) = ∣ ∣ ∣ \frac{0 - 1}{0 + 1} ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{0 - 1}{0 + 1} |$

f (0) = ∣ ∣ ∣ \frac{0 - 1}{0 + 1} ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{0 - 1}{0 + 1} |$

f (0) = ∣ ∣ ∣ \frac{0 - 1}{0 + 1} ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{0 - 1}{0 + 1} |$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

0 - 1

$0 - 1$ und

0 + 1

$0 + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Schreibe

0

$0$ als

- 1 (0)

$- 1 (0)$ um.

f (0) = ∣ ∣ ∣ \frac{- 1 \cdot 0 - 1}{0 + 1} ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot 0 - 1}{0 + 1} |$

Schritt 3.1.2.2.2

Schreibe

- 1

$- 1$ als

- 1 (1)

$- 1 (1)$ um.

f (0) = ∣ ∣ ∣ \frac{- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{0 + 1} ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{0 + 1} |$

Schritt 3.1.2.2.3

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1

$- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1$ heraus.

f (0) = ∣ ∣ ∣ \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} |$

Schritt 3.1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

f (0) = ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} ∣ ∣ ∣ ∣

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} |$

Schritt 3.1.2.2.5

Dividiere

- 1

$- 1$ durch

1

$1$ .

f (0) = | - 1 |

$f (0) = | - 1 |$

f (0) = | - 1 |

$f (0) = | - 1 |$

Schritt 3.1.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

- 1

$- 1$ und

0

$0$ ist

1

$1$ .

f (0) = 1

$f (0) = 1$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist

1

$1$ .

y = 1

$y = 1$

y = 1

$y = 1$

y = 1

$y = 1$

Schritt 3.2

Setze den

x

$x$ -Wert

1

$1$ in

f (x) = ∣ ∣ ∣ \frac{x - 2}{x + 2} ∣ ∣ ∣

$f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ ein. In diesem Fall ist der Punkt

(1, \frac{1}{3})

$(1, \frac{1}{3})$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

1

$1$ .

f (1) = ∣ ∣ ∣ \frac{(1) - 2}{(1) + 2} ∣ ∣ ∣

$f (1) = | \frac{(1) - 2}{(1) + 2} |$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere

2

$2$ von

1

$1$ .

f (1) = ∣ ∣ ∣ \frac{- 1}{1 + 2} ∣ ∣ ∣

$f (1) = | \frac{- 1}{1 + 2} |$

Schritt 3.2.2.2

Addiere

1

$1$ und

2

$2$ .

f (1) = ∣ ∣ ∣ \frac{- 1}{3} ∣ ∣ ∣

$f (1) = | \frac{- 1}{3} |$

Schritt 3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

f (1) = ∣ ∣ ∣ - \frac{1}{3} ∣ ∣ ∣

$f (1) = | - \frac{1}{3} |$

Schritt 3.2.2.4

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ ist ungefähr

- 0. ¯ 3

$- 0.\overline{3}$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ um und entferne den Absolutwert

f (1) = \frac{1}{3}

$f (1) = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.2.5

Die endgültige Lösung ist

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

y = \frac{1}{3}

$y = \frac{1}{3}$

y = \frac{1}{3}

$y = \frac{1}{3}$

y = \frac{1}{3}

$y = \frac{1}{3}$

Schritt 3.3

Setze den

x

$x$ -Wert

3

$3$ in

f (x) = ∣ ∣ ∣ \frac{x - 2}{x + 2} ∣ ∣ ∣

$f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ ein. In diesem Fall ist der Punkt

(3, \frac{1}{5})

$(3, \frac{1}{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

3

$3$ .

f (3) = ∣ ∣ ∣ \frac{(3) - 2}{(3) + 2} ∣ ∣ ∣

$f (3) = | \frac{(3) - 2}{(3) + 2} |$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere

2

$2$ von

3

$3$ .

f (3) = ∣ ∣ ∣ \frac{1}{3 + 2} ∣ ∣ ∣

$f (3) = | \frac{1}{3 + 2} |$

Schritt 3.3.2.2

Addiere

3

$3$ und

2

$2$ .

f (3) = ∣ ∣ ∣ \frac{1}{5} ∣ ∣ ∣

$f (3) = | \frac{1}{5} |$

Schritt 3.3.2.3

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ ist ungefähr

0.2

$0.2$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

f (3) = \frac{1}{5}

$f (3) = \frac{1}{5}$

Schritt 3.3.2.4

Die endgültige Lösung ist

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ .

y = \frac{1}{5}

$y = \frac{1}{5}$

y = \frac{1}{5}

$y = \frac{1}{5}$

y = \frac{1}{5}

$y = \frac{1}{5}$

Schritt 3.4

Setze den

x

$x$ -Wert

4

$4$ in

f (x) = ∣ ∣ ∣ \frac{x - 2}{x + 2} ∣ ∣ ∣

$f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ ein. In diesem Fall ist der Punkt

(4, \frac{1}{3})

$(4, \frac{1}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

4

$4$ .

f (4) = ∣ ∣ ∣ \frac{(4) - 2}{(4) + 2} ∣ ∣ ∣

$f (4) = | \frac{(4) - 2}{(4) + 2} |$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

(4) - 2

$(4) - 2$ und

(4) + 2

$(4) + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

4

$4$ heraus.

f (4) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot 2 - 2}{4 + 2} ∣ ∣ ∣

$f (4) = | \frac{2 \cdot 2 - 2}{4 + 2} |$

Schritt 3.4.2.1.2

Faktorisiere

2

$2$ aus

- 2

$- 2$ heraus.

f (4) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}{(4) + 2} ∣ ∣ ∣

$f (4) = | \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}{(4) + 2} |$

Schritt 3.4.2.1.3

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1

$2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ heraus.

f (4) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (2 - 1)}{(4) + 2} ∣ ∣ ∣

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{(4) + 2} |$

Schritt 3.4.2.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.4.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

4

$4$ heraus.

f (4) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2} ∣ ∣ ∣

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2} |$

Schritt 3.4.2.1.4.2

Faktorisiere

2

$2$ aus

2

$2$ heraus.

f (4) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2 (1)} ∣ ∣ ∣

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2 (1)} |$

Schritt 3.4.2.1.4.3

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \cdot 2 + 2 (1)

$2 \cdot 2 + 2 (1)$ heraus.

f (4) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} ∣ ∣ ∣

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} |$

Schritt 3.4.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

f (4) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} ∣ ∣ ∣

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} |$

Schritt 3.4.2.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

f (4) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1}{2 + 1} ∣ ∣ ∣

$f (4) = | \frac{2 - 1}{2 + 1} |$

f (4) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1}{2 + 1} ∣ ∣ ∣

$f (4) = | \frac{2 - 1}{2 + 1} |$

f (4) = ∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1}{2 + 1} ∣ ∣ ∣

$f (4) = | \frac{2 - 1}{2 + 1} |$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1

Subtrahiere

1

$1$ von

2

$2$ .

f (4) = ∣ ∣ ∣ \frac{1}{2 + 1} ∣ ∣ ∣

$f (4) = | \frac{1}{2 + 1} |$

Schritt 3.4.2.2.2

Addiere

$2$ und

$1$ .

$f (4) = | \frac{1}{3} |$

Schritt 3.4.2.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr

$0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$f (4) = \frac{1}{3}$

Schritt 3.4.2.4

Die endgültige Lösung ist

$\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Schritt 3.5

Der Absolutwert kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt

$(2, 0), (0, 1), (1, 0.33), (3, 0.2), (4, 0.33)$ graphisch dargestellt werden.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 1 \\ 1 & 0.33 \\ 2 & 0 \\ 3 & 0.2 \\ 4 & 0.33 \end{array}$

Schritt 4