Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$

Schritt 1

Bestimme den Scheitelpunkt des Absolutwerts. In diesem Fall ist der Scheitelpunkt für $y = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ gleich $(2, 0)$ .

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Schritt 1.1

Setze das Innere des Absolutwertes $\frac{x - 2}{x + 2}$ gleich $0$ , um die $x$ -Koordinate des Scheitelpunktes zu bestimmen. In diesem Fall: $\frac{x - 2}{x + 2} = 0$ .

$\frac{x - 2}{x + 2} = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung $\frac{x - 2}{x + 2} = 0$ , um die $x$ -Koordinate der Absolutwert-Spitze zu ermitteln.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$y = | \frac{(2) - 2}{(2) + 2} |$

Schritt 1.4

Vereinfache $| \frac{(2) - 2}{(2) + 2} |$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(2) - 2$ und $(2) + 2$ .

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = | \frac{2 \cdot 1 - 2}{2 + 2} |$

Schritt 1.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = | \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}{(2) + 2} |$

Schritt 1.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1$ heraus.

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{(2) + 2} |$

Schritt 1.4.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2} |$

Schritt 1.4.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2 (1)} |$

Schritt 1.4.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 (1)$ heraus.

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} |$

Schritt 1.4.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} |$

Schritt 1.4.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$y = | \frac{1 - 1}{1 + 1} |$

Schritt 1.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = | \frac{0}{1 + 1} |$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$y = | \frac{0}{2} |$

Schritt 1.4.2.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y = | 0 |$

Schritt 1.4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.5

Die Absolutwert-Spitze ist $(2, 0)$ .

$(2, 0)$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Betragsfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 2}{x + 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 2 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 2}$

Schritt 3

Für jeden $x$ Wert, es gibt einen $y$ Wert. Wählen Sie einige aus $x$ Werte aus der Domäne. Es wäre sinnvoller, die Werte so zu wählen, dass sie in der Nähe des $x$ Wert des Absolutwert-Scheitelpunkts.

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Schritt 3.1

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, 1)$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = | \frac{(0) - 2}{(0) + 2} |$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(0) - 2$ und $(0) + 2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$f (0) = | \frac{2 (0) - 2}{(0) + 2} |$

Schritt 3.1.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (0) = | \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}{(0) + 2} |$

Schritt 3.1.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ heraus.

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{(0) + 2} |$

Schritt 3.1.2.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 (0) + 2} |$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1} |$

Schritt 3.1.2.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ heraus.

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} |$

Schritt 3.1.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} |$

Schritt 3.1.2.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$f (0) = | \frac{0 - 1}{0 + 1} |$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0 - 1$ und $0 + 1$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot 0 - 1}{0 + 1} |$

Schritt 3.1.2.2.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{0 + 1} |$

Schritt 3.1.2.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1$ heraus.

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} |$

Schritt 3.1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} |$

Schritt 3.1.2.2.5

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$f (0) = | - 1 |$

Schritt 3.1.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 3.2

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, \frac{1}{3})$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = | \frac{(1) - 2}{(1) + 2} |$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (1) = | \frac{- 1}{1 + 2} |$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (1) = | \frac{- 1}{3} |$

Schritt 3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (1) = | - \frac{1}{3} |$

Schritt 3.2.2.4

$- \frac{1}{3}$ ist ungefähr $- 0.\overline{3}$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{1}{3}$ um und entferne den Absolutwert

$f (1) = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Schritt 3.3

Setze den $x$ -Wert $3$ in $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(3, \frac{1}{5})$ .

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = | \frac{(3) - 2}{(3) + 2} |$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f (3) = | \frac{1}{3 + 2} |$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $3$ und $2$ .

$f (3) = | \frac{1}{5} |$

Schritt 3.3.2.3

$\frac{1}{5}$ ist ungefähr $0.2$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$f (3) = \frac{1}{5}$

Schritt 3.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1}{5}$

Schritt 3.4

Setze den $x$ -Wert $4$ in $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(4, \frac{1}{3})$ .

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Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = | \frac{(4) - 2}{(4) + 2} |$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(4) - 2$ und $(4) + 2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (4) = | \frac{2 \cdot 2 - 2}{4 + 2} |$

Schritt 3.4.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (4) = | \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}{(4) + 2} |$

Schritt 3.4.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ heraus.

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{(4) + 2} |$

Schritt 3.4.2.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2} |$

Schritt 3.4.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2 (1)} |$

Schritt 3.4.2.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 (1)$ heraus.

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} |$

Schritt 3.4.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} |$

Schritt 3.4.2.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$f (4) = | \frac{2 - 1}{2 + 1} |$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (4) = | \frac{1}{2 + 1} |$

Schritt 3.4.2.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (4) = | \frac{1}{3} |$

Schritt 3.4.2.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$f (4) = \frac{1}{3}$

Schritt 3.4.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Schritt 3.5

Der Absolutwert kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(2, 0), (0, 1), (1, 0.33), (3, 0.2), (4, 0.33)$ graphisch dargestellt werden.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 1 \\ 1 & 0.33 \\ 2 & 0 \\ 3 & 0.2 \\ 4 & 0.33 \end{array}$

Schritt 4