Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{| x - 1 |}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Betragsfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x - 1 | = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm 0$

Schritt 1.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1}$

Schritt 2

Für jeden $x$ Wert, es gibt einen $y$ Wert. Wählen Sie einige aus $x$ Werte aus der Domäne. Es wäre sinnvoller, die Werte so zu wählen, dass sie in der Nähe des $x$ Wert des Absolutwert-Scheitelpunkts.

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Schritt 2.1

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, 1)$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 1)}{| (- 2) - 1 |}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 (- 2 - 1)}{| - 2 - 1 |}$

Schritt 2.1.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{| - 2 - 1 |}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{| - 3 |}$

Schritt 2.1.2.2.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 3$ und $0$ ist $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{3}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- 2) = \frac{3}{3}$

Schritt 2.1.2.3.2

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f (- 2) = 1$

Schritt 2.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 2.2

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 0)$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{((- 1) + 1) ((- 1) - 1)}{| (- 1) - 1 |}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- 1) = \frac{0 (- 1 - 1)}{| - 1 - 1 |}$

Schritt 2.2.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{| - 1 - 1 |}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{| - 2 |}$

Schritt 2.2.2.2.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 2$ und $0$ ist $2$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{2}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 2$ .

$f (- 1) = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2.3.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (- 1) = 0$

Schritt 2.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, - 1)$ .

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Schritt 2.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{((0) + 1) ((0) - 1)}{| (0) - 1 |}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$f (0) = \frac{(- 1 \cdot 0 + 1) (0 - 1)}{| 0 - 1 |}$

Schritt 2.3.2.1.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f (0) = \frac{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1) (0 - 1)}{| 0 - 1 |}$

Schritt 2.3.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ heraus.

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Schritt 2.3.2.1.4

Potenziere $0 - 1$ mit $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Schritt 2.3.2.1.5

Potenziere $0 - 1$ mit $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Schritt 2.3.2.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{1 + 1}}{| 0 - 1 |}$

Schritt 2.3.2.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{| 0 - 1 |}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{| - 1 |}$

Schritt 2.3.2.2.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{1}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (0) = \frac{- 1 {(- 1)}^{2}}{1}$

Schritt 2.3.2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{1}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (0) = \frac{- 1}{1}$

Schritt 2.3.2.4.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$f (0) = - 1$

Schritt 2.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 2.4

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 3)$ .

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Schritt 2.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{((2) + 1) ((2) - 1)}{| (2) - 1 |}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.1.1

Addiere $2$ und $1$ .

$f (2) = \frac{3 (2 - 1)}{| 2 - 1 |}$

Schritt 2.4.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{| 2 - 1 |}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{| 1 |}$

Schritt 2.4.2.2.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (2) = \frac{3}{1}$

Schritt 2.4.2.3.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$f (2) = 3$

Schritt 2.4.2.4

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 2.5

Der Absolutwert kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(- 2, 1), (- 1, 0), (0, - 1), (2, 3)$ graphisch dargestellt werden.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}$

Schritt 3