Algebravorstufe Beispiele

$\sqrt{x} < 10$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x}}^{2} < 10^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 10^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 10^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 10^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} < 10^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x < 10^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x < 100$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x} - 10$ .

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Schritt 3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 100$

$x > 100$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{- 2} < 10$

Schritt 5.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 100$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 100$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{2} < 10$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $1.41421356$ ist kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 100$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 100$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 102$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $102$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{102} < 10$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $10.09950493$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 100$ Wahr

$x > 100$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 100$ Wahr

$x > 100$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < 100$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x < 100$

Intervallschreibweise:

$(0, 100)$

Schritt 8