Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = {(x - 7)}^{2} + 2$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = 7$

$k = 2$

Schritt 1.2

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(7, 2)$

Schritt 1.4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 1.5

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(7, \frac{9}{4})$

Schritt 1.6

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 7$

Schritt 1.7

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.7.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.7.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{7}{4}$

Schritt 1.8

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(7, 2)$

Brennpunkt: $(7, \frac{9}{4})$

Symmetrieachse: $x = 7$

Leitlinie: $y = \frac{7}{4}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(7, 2)$

Brennpunkt: $(7, \frac{9}{4})$

Symmetrieachse: $x = 7$

Leitlinie: $y = \frac{7}{4}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = {(6)}^{2} - 14 \cdot 6 + 51$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (6) = 36 - 14 \cdot 6 + 51$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $6$ .

$f (6) = 36 - 84 + 51$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $84$ von $36$ .

$f (6) = - 48 + 51$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $- 48$ und $51$ .

$f (6) = 3$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 6$ ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = {(5)}^{2} - 14 \cdot 5 + 51$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (5) = 25 - 14 \cdot 5 + 51$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $5$ .

$f (5) = 25 - 70 + 51$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $70$ von $25$ .

$f (5) = - 45 + 51$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $- 45$ und $51$ .

$f (5) = 6$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = 5$ ist $6$ .

$y = 6$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f (8) = {(8)}^{2} - 14 \cdot 8 + 51$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f (8) = 64 - 14 \cdot 8 + 51$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $8$ .

$f (8) = 64 - 112 + 51$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Subtrahiere $112$ von $64$ .

$f (8) = - 48 + 51$

Schritt 2.8.2.2

Addiere $- 48$ und $51$ .

$f (8) = 3$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 8$ ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f (9) = {(9)}^{2} - 14 \cdot 9 + 51$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (9) = 81 - 14 \cdot 9 + 51$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $9$ .

$f (9) = 81 - 126 + 51$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.11.2.1

Subtrahiere $126$ von $81$ .

$f (9) = - 45 + 51$

Schritt 2.11.2.2

Addiere $- 45$ und $51$ .

$f (9) = 6$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 9$ ist $6$ .

$y = 6$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & 6 \\ 6 & 3 \\ 7 & 2 \\ 8 & 3 \\ 9 & 6 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(7, 2)$

Brennpunkt: $(7, \frac{9}{4})$

Symmetrieachse: $x = 7$

Leitlinie: $y = \frac{7}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & 6 \\ 6 & 3 \\ 7 & 2 \\ 8 & 3 \\ 9 & 6 \end{array}$

Schritt 4