Algebravorstufe Beispiele

$- 7 x + \frac{9}{13 x}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $- 7 x + \frac{9}{13 x}$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Kombinieren.

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Schritt 5.1.1

Um $- 7 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{13 x}{13 x}$ .

$- 7 x \cdot \frac{13 x}{13 x} + \frac{9}{13 x}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1.2.1

Kombiniere $- 7 x$ und $\frac{13 x}{13 x}$ .

$\frac{- 7 x (13 x)}{13 x} + \frac{9}{13 x}$

Schritt 5.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 7 x (13 x) + 9}{13 x}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 7 \cdot 13 x \cdot x + 9}{13 x}$

Schritt 5.1.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.3.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 7 \cdot 13 (x \cdot x) + 9}{13 x}$

Schritt 5.1.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 7 \cdot 13 x^{2} + 9}{13 x}$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $13$ .

$\frac{- 91 x^{2} + 9}{13 x}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 91 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (91 x^{2}) + 9}{13 x}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$\frac{- (91 x^{2}) - 1 (- 9)}{13 x}$

Schritt 5.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (91 x^{2}) - 1 (- 9)$ heraus.

$\frac{- (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

Schritt 5.1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.4.4.1

Schreibe $- (91 x^{2} - 9)$ als $- 1 (91 x^{2} - 9)$ um.

$\frac{- 1 (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

Schritt 5.1.4.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{91 x^{2} - 9}{13 x}$

Schritt 5.1.5

Vereinfache.

$\frac{- 91 x^{2} + 9}{13 x}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 91 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (91 x^{2}) + 9}{13 x}$

Schritt 5.2.2

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$\frac{- (91 x^{2}) - 1 (- 9)}{13 x}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (91 x^{2}) - 1 (- 9)$ heraus.

$\frac{- (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $- (91 x^{2} - 9)$ als $- 1 (91 x^{2} - 9)$ um.

$\frac{- 1 (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

Schritt 5.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{91 x^{2} - 9}{13 x}$

Schritt 5.3

Multipliziere $- (91 x^{2} - 9)$ aus.

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Schritt 5.3.1

Kehre das Vorzeichen von $91 x^{2} - 9$ um.

$\frac{- (91 x^{2} - 9)}{13 x}$

Schritt 5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (91 x^{2}) + 9}{13 x}$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot (91 x^{2}) + 9}{13 x}$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $91$ .

$\frac{- 91 x^{2} + 9}{13 x}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$\frac{- 91 x^{2} + 9}{13 x}$

Schritt 5.4

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$13 x$

$0$

$91 x^{2}$

$0 x$

$9$

Schritt 5.5

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 91 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $13 x$ .

				-	$7 x$
	$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$

Schritt 5.6

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$7 x$
$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			-	$91 x^{2}$	+	$0$

Schritt 5.7

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 91 x^{2} + 0$

			-	$7 x$
$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			+	$91 x^{2}$	-	$0$

Schritt 5.8

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$7 x$
$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			+	$91 x^{2}$	-	$0$
						$0$

Schritt 5.9

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$7 x$
$13 x$	+	$0$	-	$91 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
			+	$91 x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$9$

Schritt 5.10

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- 7 x + \frac{9}{13 x}$

Schritt 5.11

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - 7 x$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - 7 x$

Schritt 7