Algebravorstufe Beispiele

$8 x^{2} + 3 y^{2} = 72$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Teile jeden Term durch $72$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{8 x^{2}}{72} + \frac{3 y^{2}}{72} = \frac{72}{72}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{24} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 2 \sqrt{6}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(2 \sqrt{6})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{6}$ an.

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{6}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{6}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{4 \cdot 6^{1} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{4 \cdot 6 - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\sqrt{24 - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{24 - 1 \cdot 9}$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\sqrt{24 - 9}$

Schritt 5.3.3.4

Subtrahiere $9$ von $24$ .

$\sqrt{15}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + 2 \sqrt{6})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(0, 2 \sqrt{6})$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (2 \sqrt{6}))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(0, - 2 \sqrt{6})$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + \sqrt{15})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(0, \sqrt{15})$

Schritt 7.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (\sqrt{15}))$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(0, - \sqrt{15})$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{15})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{15})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{6})}^{2} - {(3)}^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{6}$ an.

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{6}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{6}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 8.3.1.3

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 8.3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 8.3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 8.3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 8.3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 8.3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6^{1} - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 8.3.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 6 - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 8.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{24 - 3^{2}}}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 8.3.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{24 - 1 \cdot 9}}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 8.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{\sqrt{24 - 9}}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 8.3.1.7

Subtrahiere $9$ von $24$ .

$\frac{\sqrt{15}}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 8.3.2

Vereinige $\sqrt{15}$ und $\sqrt{6}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\frac{\sqrt{\frac{15}{6}}}{2}$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $6$ .

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Schritt 8.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{\sqrt{\frac{3 (5)}{6}}}{2}$

Schritt 8.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}}}{2}$

Schritt 8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}}}{2}$

Schritt 8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{2}$

Schritt 8.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{5}{2}}$ als $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ um.

$\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}{2}$

Schritt 8.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{2}$

Schritt 8.3.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 8.3.4.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 8.3.4.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{2}$

Schritt 8.3.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2}$

Schritt 8.3.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.3.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Schritt 8.3.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Schritt 8.3.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Schritt 8.3.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}}{2}$

Schritt 8.3.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}}{2}$

Schritt 8.3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}}{2}$

Schritt 8.3.4.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{2}$

Schritt 8.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.3.6

Multipliziere $\frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{10}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{10}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{10}}{4}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{15})$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{10}}{4}$

Schritt 10