Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = x \sqrt{9 - x}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = x \sqrt{9 - x}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{9 - x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$9 - x \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 9$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 9$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x \leq 9$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 9]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 9}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 9]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 9}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $9$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = x \sqrt{9 - x}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f (9) = (9) \sqrt{9 - (9)}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (9) = 9 \sqrt{9 - 9}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f (9) = 9 \sqrt{0}$

Schritt 2.2.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (9) = 9 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (9) = 9 \cdot 0$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$f (9) = 0$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(9, 0)$ .

$(9, 0)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $7$ in $f (x) = x \sqrt{9 - x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(7, 7 \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f (7) = (7) \sqrt{9 - (7)}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (7) = 7 \sqrt{9 - 7}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $7$ von $9$ .

$f (7) = 7 \sqrt{2}$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $7 \sqrt{2}$ .

$y = 7 \sqrt{2}$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $8$ in $f (x) = x \sqrt{9 - x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(8, 8)$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f (8) = (8) \sqrt{9 - (8)}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (8) = 8 \sqrt{9 - 8}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $8$ von $9$ .

$f (8) = 8 \sqrt{1}$

Schritt 4.2.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (8) = 8 \cdot 1$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f (8) = 8$

Schritt 4.2.2.5

Die endgültige Lösung ist $8$ .

$y = 8$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(9, 0), (7, 9.9), (8, 8)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 7 & 9.9 \\ 8 & 8 \\ 9 & 0 \end{array}$

Schritt 5