Algebravorstufe Beispiele

$h (x) = {(1 - 9 x)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Stelle die Terme um.

$y = {(- 9 x + 1)}^{2}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf ${(- 9 x + 1)}^{2}$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Schreibe ${(- 9 x + 1)}^{2}$ als $(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$ um.

$(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$

Schritt 1.2.1.2

Multipliziere $(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 x (- 9 x + 1) + 1 (- 9 x + 1)$

Schritt 1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 x (- 9 x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x + 1)$

Schritt 1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 x (- 9 x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 9 \cdot - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$- 9 \cdot - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 9 \cdot - 9 x^{2} - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 9$ .

$81 x^{2} - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$81 x^{2} - 9 x + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 9 x$ mit $1$ .

$81 x^{2} - 9 x - 9 x + 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$81 x^{2} - 9 x - 9 x + 1$

Schritt 1.2.1.3.2

Subtrahiere $9 x$ von $- 9 x$ .

$81 x^{2} - 18 x + 1$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 81$

$b = - 18$

$c = 1$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 81}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 81}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 81$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (81)}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 81}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 9}{81}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $81$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$d = \frac{9 (- 1)}{81}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 9}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 9}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{9}$

Schritt 1.2.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{9}$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 81}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$e = 1 - \frac{324}{4 \cdot 81}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $81$ .

$e = 1 - \frac{324}{324}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $324$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 1 - \frac{324}{324}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 1 - 1$

Schritt 1.2.5.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$e = 0$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$ ein.

$81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 81$

$h = \frac{1}{9}$

$k = 0$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{1}{9}, 0)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 81}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $81$ .

$\frac{1}{324}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{1}{9}, \frac{1}{324})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{1}{9}$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{1}{324}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{1}{9}, 0)$

Brennpunkt: $(\frac{1}{9}, \frac{1}{324})$

Symmetrieachse: $x = \frac{1}{9}$

Leitlinie: $y = - \frac{1}{324}$

Schritt 10