Algebravorstufe Beispiele

$\log (\log (100000^{2 x}))$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$\log (100000^{2 x}) = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere $\log (100000^{2 x})$ aus.

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege $\log (100000^{2 x})$ durch Herausziehen von $2 x$ aus dem Logarithmus.

$2 x \log (100000)$

Schritt 1.2.1.2

Die logarithmische Basis $10$ von $100000$ ist $5$ .

$2 x \cdot 5$

Schritt 1.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$10 x$

Schritt 1.2.2

Die ausmultiplizierte Gleichung ist $10 x = 0$ .

$10 x = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $10 x = 0$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x = 0$ durch $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{10}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $10$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 0$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \log (\log (100000^{2 (1)}))$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = \log (\log (100000^{2}))$

Schritt 2.2.2

Potenziere $100000$ mit $2$ .

$f (1) = \log (\log (10000000000))$

Schritt 2.2.3

Die logarithmische Basis $10$ von $10000000000$ ist $10$ .

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log (\log (10000000000) = x)$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $\log (10000000000) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$\log (10^{x} = 10000000000)$

Schritt 2.2.3.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$\log (10^{x} = 10^{10})$

Schritt 2.2.3.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$\log (x = 10)$

Schritt 2.2.3.5

Die Variable $x$ ist gleich $10$ .

$f (1) = \log (10)$

Schritt 2.2.4

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$f (1) = 1$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 2.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$y = 1$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 10$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f (10) = \log (\log (100000^{2 (10)}))$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$f (10) = \log (\log (100000^{20}))$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\log (\log (100000^{20}))$ .

$\log (\log (100000^{20}))$

Schritt 3.3

Konvertiere $\log (\log (100000^{20}))$ nach Dezimal.

$y = 2$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \log (\log (100000^{2 (2)}))$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \log (\log (100000^{4}))$

Schritt 4.2.2

Potenziere $100000$ mit $4$ .

$f (2) = \log (\log (100000000000000000000))$

Schritt 4.2.3

Die logarithmische Basis $10$ von $100000000000000000000$ ist $20$ .

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log (\log (100000000000000000000) = x)$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $\log (100000000000000000000) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$\log (10^{x} = 100000000000000000000)$

Schritt 4.2.3.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$\log (10^{x} = 10^{20})$

Schritt 4.2.3.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$\log (x = 20)$

Schritt 4.2.3.5

Die Variable $x$ ist gleich $20$ .

$f (2) = \log (20)$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $\log (20)$ .

$\log (20)$

Schritt 4.3

Konvertiere $\log (20)$ nach Dezimal.

$y = 1.30102999$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 1), (10, 2), (2, 1.30102999)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.301 \\ 10 & 2 \end{array}$

Schritt 6